微积分学示例

${({(x^{2} + 3)}^{5} + x)}^{2}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{5} + x$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(x^{2} + 3)}^{5} + x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5} + x]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5} + x]$

解题步骤 1.3

使用 ${(x^{2} + 3)}^{5} + x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5} + x]$

解题步骤 2

根据加法法则， ${(x^{2} + 3)}^{5} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5}] + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x^{2} + 3$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2} + 3$ 。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $x^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + 1)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$(2 {(x^{2} + 3)}^{5} + 2 x) (10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + 1)$

解题步骤 5.2

重新排序 $(2 {(x^{2} + 3)}^{5} + 2 x) (10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + 1)$ 的因式。

$(10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + 1) (2 {(x^{2} + 3)}^{5} + 2 x)$

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