微积分学示例

$(x - 6) {(x + 2)}^{3}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 6$ 且 $g (x) = {(x + 2)}^{3}$ 。

$(x - 6) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 2$ 。

$(x - 6) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(x - 6) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 2.3

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x - 6) (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $3$ 移到 $x - 6$ 的左侧。

$3 \cdot (x - 6) {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (1 + 0) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} \cdot 1 + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 3.5.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 3.8

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (1 + 0)$

解题步骤 3.9

化简表达式。

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解题步骤 3.9.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} \cdot 1$

解题步骤 3.9.2

将 ${(x + 2)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$(3 x + 3 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

解题步骤 4.2

将 $3$ 乘以 $- 6$ 。

$(3 x - 18) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

解题步骤 4.3

从 $(3 x - 18) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$ 中分解出因数 ${(x + 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.1

从 $(3 x - 18) {(x + 2)}^{2}$ 中分解出因数 ${(x + 2)}^{2}$ 。

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{3}$

解题步骤 4.3.2

从 ${(x + 2)}^{3}$ 中分解出因数 ${(x + 2)}^{2}$ 。

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{2} (x + 2)$

解题步骤 4.3.3

从 ${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{2} (x + 2)$ 中分解出因数 ${(x + 2)}^{2}$ 。

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18 + x + 2)$

解题步骤 4.4

合并项。

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解题步骤 4.4.1

将 $3 x$ 和 $x$ 相加。

${(x + 2)}^{2} (4 x - 18 + 2)$

解题步骤 4.4.2

将 $- 18$ 和 $2$ 相加。

${(x + 2)}^{2} (4 x - 16)$

解题步骤 4.5

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$(x + 2) (x + 2) (4 x - 16)$

解题步骤 4.6

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 4.6.1

运用分配律。

$(x (x + 2) + 2 (x + 2)) (4 x - 16)$

解题步骤 4.6.2

运用分配律。

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (4 x - 16)$

解题步骤 4.6.3

运用分配律。

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

解题步骤 4.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.7.1

化简每一项。

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解题步骤 4.7.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

解题步骤 4.7.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

解题步骤 4.7.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (4 x - 16)$

解题步骤 4.7.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$(x^{2} + 4 x + 4) (4 x - 16)$

解题步骤 4.8

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} + 4 x + 4) (4 x - 16)$ 。

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

解题步骤 4.9

化简每一项。

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解题步骤 4.9.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

解题步骤 4.9.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.9.2.1

移动 $x$ 。

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

解题步骤 4.9.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.9.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

解题步骤 4.9.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

解题步骤 4.9.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

解题步骤 4.9.3

将 $- 16$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$4 x^{3} - 16 \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

解题步骤 4.9.4

使用乘法的交换性质重写。

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

解题步骤 4.9.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.9.5.1

移动 $x$ 。

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

解题步骤 4.9.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

解题步骤 4.9.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

解题步骤 4.9.7

将 $- 16$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

解题步骤 4.9.8

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x + 4 \cdot - 16$

解题步骤 4.9.9

将 $4$ 乘以 $- 16$ 。

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x - 64$

解题步骤 4.10

合并 $4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x - 64$ 中相反的项。

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解题步骤 4.10.1

将 $- 16 x^{2}$ 和 $16 x^{2}$ 相加。

$4 x^{3} + 0 - 64 x + 16 x - 64$

解题步骤 4.10.2

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} - 64 x + 16 x - 64$

解题步骤 4.11

将 $- 64 x$ 和 $16 x$ 相加。

$4 x^{3} - 48 x - 64$

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