微积分学示例

$y = e^{u} (\cos (u) + c u)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ 等于 $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ ，其中 $f (u) = e^{u}$ 且 $g (u) = \cos (u) + c u$ 。

$e^{u} \frac{d}{d u} [\cos (u) + c u] + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\cos (u) + c u$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [\cos (u)] + \frac{d}{d u} [c u]$ 。

$e^{u} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] + \frac{d}{d u} [c u]) + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

解题步骤 3

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$e^{u} (- \sin (u) + \frac{d}{d u} [c u]) + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $c$ 对于 $u$ 是常数，所以 $c u$ 对 $u$ 的导数是 $c \frac{d}{d u} [u]$ 。

$e^{u} (- \sin (u) + c \frac{d}{d u} [u]) + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{u} (- \sin (u) + c \cdot 1) + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

解题步骤 4.3

将 $c$ 乘以 $1$ 。

$e^{u} (- \sin (u) + c) + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

解题步骤 5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} (- \sin (u) + c) + (\cos (u) + c u) e^{u}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$e^{u} (- \sin (u)) + e^{u} c + (\cos (u) + c u) e^{u}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$e^{u} (- \sin (u)) + e^{u} c + \cos (u) e^{u} + c u e^{u}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$- e^{u} \sin (u) + e^{u} c + e^{u} \cos (u) + e^{u} c u$

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