微积分学示例

${(x^{4} + 3 x)}^{- 1}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{4} + 3 x$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4} + 3 x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{4} + 3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{4} + 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 。

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3 \cdot 1)$

解题步骤 2.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}} (4 x^{3} + 3)$

解题步骤 3.2

重新排序 $- \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}} (4 x^{3} + 3)$ 的因式。

$- (4 x^{3} + 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$(- (4 x^{3}) - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

解题步骤 3.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 4 x^{3} - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

解题步骤 3.6

化简分母。

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解题步骤 3.6.1

从 $x^{4} + 3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x \cdot x^{3} + 3 x)}^{2}}$

解题步骤 3.6.1.2

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x \cdot x^{3} + x \cdot 3)}^{2}}$

解题步骤 3.6.1.3

从 $x \cdot x^{3} + x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x (x^{3} + 3))}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

对 $x (x^{3} + 3)$ 运用乘积法则。

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $- 4 x^{3} - 3$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$ 。

$\frac{- 4 x^{3} - 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.8

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (4 x^{3}) - 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.9

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$\frac{- (4 x^{3}) - 1 (3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.10

从 $- (4 x^{3}) - 1 (3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (4 x^{3} + 3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.11

将 $- (4 x^{3} + 3)$ 重写为 $- 1 (4 x^{3} + 3)$ 。

$\frac{- 1 (4 x^{3} + 3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 x^{3} + 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

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