微积分学示例

${(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 4}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 4}$ 且 $g (x) = x^{4} - \frac{7}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4} - \frac{7}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{4} - \frac{7}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{4} - \frac{7}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}]$ 。

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}])$

解题步骤 2.3

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{7}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 2.4

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 (- x^{- 2}))$

解题步骤 2.6

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} + 7 x^{- 2})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 4 \frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 x^{- 2})$

解题步骤 3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 4 \frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.3

合并项。

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解题步骤 3.3.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$ 。

$\frac{- 4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.3.3

组合 $7$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}})$

解题步骤 3.4

重新排序 $- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}})$ 的因式。

$- (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

解题步骤 3.5

运用分配律。

$(- (4 x^{3}) - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

解题步骤 3.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

解题步骤 3.7

化简分母。

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解题步骤 3.7.1

要将 $x^{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x}{x} - \frac{7}{x})}^{5}}$

解题步骤 3.7.2

在公分母上合并分子。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x - 7}{x})}^{5}}$

解题步骤 3.7.3

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.7.3.1

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.7.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x^{1} - 7}{x})}^{5}}$

解题步骤 3.7.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4 + 1} - 7}{x})}^{5}}$

解题步骤 3.7.3.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{5} - 7}{x})}^{5}}$

解题步骤 3.7.4

对 $\frac{x^{5} - 7}{x}$ 运用乘积法则。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{\frac{{(x^{5} - 7)}^{5}}{x^{5}}}$

解题步骤 3.8

将分子乘以分母的倒数。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) (4 \frac{x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}})$

解题步骤 3.9

组合 $4$ 和 $\frac{x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ 。

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.10

将 $- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ 。

$\frac{(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) (4 x^{5})}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.11

化简分子。

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解题步骤 3.11.1

要将 $- 4 x^{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{(- 4 x^{3} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{7}{x^{2}}) \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.11.2

组合 $- 4 x^{3}$ 和 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{(\frac{- 4 x^{3} x^{2}}{x^{2}} - \frac{7}{x^{2}}) \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.11.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 4 x^{3} x^{2} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.11.4

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.11.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{\frac{- 4 (x^{2} x^{3}) - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.11.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{- 4 x^{2 + 3} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.11.4.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\frac{- 4 x^{5} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.11.5

合并指数。

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解题步骤 3.11.5.1

组合 $\frac{- 4 x^{5} - 7}{x^{2}}$ 和 $4$ 。

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4}{x^{2}} x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.11.5.2

组合 $\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4}{x^{2}}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}}{x^{2}}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.11.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.11.6.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 3.11.6.1.1

从 $(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2}}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.11.6.1.2

乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2} \cdot 1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.11.6.1.3

约去公因数。

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2} \cdot 1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.11.6.1.4

重写表达式。

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}}{1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.11.6.2

用 $(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.12

将 $4$ 移到 $- 4 x^{5} - 7$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot (- 4 x^{5} - 7) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.13

从 $- 4 x^{5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (4 x^{5}) - 7) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.14

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$\frac{4 (- (4 x^{5}) - 1 (7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.15

从 $- (4 x^{5}) - 1 (7)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.16

将 $- (4 x^{5} + 7)$ 重写为 $- 1 (4 x^{5} + 7)$ 。

$\frac{4 (- 1 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.17

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(4 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

解题步骤 3.18

将 $- \frac{(4 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{(4) x^{3} (4 x^{5} + 7)}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

微积分学 示例

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