微积分学示例

$\frac{x^{4} - 4}{x^{2} - 5}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{4} - 4$ 且 $g (x) = x^{2} - 5$ 。

$\frac{(x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{4} - 4] - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{4} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{(x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{(x^{2} - 5) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} - 5) (4 x^{3} + 0) - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} - 5) (4 x^{3}) - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

将 $4$ 移到 $x^{2} - 5$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $x^{2} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) (2 x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - 2 (x^{4} - 4) x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 5) x^{3} - 2 (x^{4} - 4) x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 (x^{4} - 4) x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 5 x^{3} + (- 2 x^{4} - 2 \cdot - 4) x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{4 (x^{3} x^{2}) + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x^{3 + 2} + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.1.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 (x \cdot x^{4}) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.5.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 (x^{1} x^{4}) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 x^{1 + 4} - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 x^{5} - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.4

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 x^{5} + 8 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

从 $4 x^{5}$ 中减去 $2 x^{5}$ 。

$\frac{2 x^{5} - 20 x^{3} + 8 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.6

从 $2 x^{5} - 20 x^{3} + 8 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 3.6.1

从 $2 x^{5}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4}) - 20 x^{3} + 8 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

从 $- 20 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2}) + 8 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.6.3

从 $8 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2}) + 2 x (4)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.6.4

从 $2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2})$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4} - 10 x^{2}) + 2 x (4)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.6.5

从 $2 x (x^{4} - 10 x^{2}) + 2 x (4)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4} - 10 x^{2} + 4)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

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