微积分学示例

${(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 8}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 8}$ 且 $g (x) = x^{2} - 7 x - 1$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 7 x - 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 8}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x - 1]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 8$ 。

$- 8 u^{- 9} \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x - 1]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{2} - 7 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x - 1]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} - 7 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.3

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.5

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x - 7 + 0)$

解题步骤 2.7

将 $2 x - 7$ 和 $0$ 相加。

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x - 7)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}} (2 x - 7)$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$ 。

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}} (2 x - 7)$

解题步骤 3.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}} (2 x - 7)$

解题步骤 3.3

重新排序 $- \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}} (2 x - 7)$ 的因式。

$- (2 x - 7) \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$(- (2 x) - - 7) \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

解题步骤 3.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 2 x - - 7) \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

解题步骤 3.6

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$(- 2 x + 7) \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

解题步骤 3.7

将 $- 2 x + 7$ 乘以 $\frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$ 。

$\frac{(- 2 x + 7) \cdot 8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

解题步骤 3.8

将 $8$ 移到 $- 2 x + 7$ 的左侧。

$\frac{8 \cdot (- 2 x + 7)}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

解题步骤 3.9

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (2 x) + 7)}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

解题步骤 3.10

将 $7$ 重写为 $- 1 (- 7)$ 。

$\frac{8 (- (2 x) - 1 (- 7))}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

解题步骤 3.11

从 $- (2 x) - 1 (- 7)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (2 x - 7))}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

解题步骤 3.12

将 $- (2 x - 7)$ 重写为 $- 1 (2 x - 7)$ 。

$\frac{8 (- 1 (2 x - 7))}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

解题步骤 3.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8 (2 x - 7)}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

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