微积分学示例

$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{7} - 2}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ 且 $g (x) = x^{7} - 2$ 。

$\frac{(x^{7} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2] - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} - 3 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{(x^{7} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $2 x - 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $x^{7} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (7 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.10

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (7 x^{6} + 0)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.11.1

将 $7 x^{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (7 x^{6})}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.11.2

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - 7 (x^{2} - 3 x + 2) x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) + (- 7 x^{2} - 7 (- 3 x) - 7 \cdot 2) x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x^{7} - 2) (2 x - 3)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x^{7} (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x^{7} (2 x) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x - 3) - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x^{7} (2 x) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{7} x + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.2

通过指数相加将 $x^{7}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{7}) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{7}$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{7}) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 7} + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.2.3

将 $1$ 和 $7$ 相加。

$\frac{2 x^{8} + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.3

将 $- 3$ 移到 $x^{7}$ 的左侧。

$\frac{2 x^{8} - 3 \cdot x^{7} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.5

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1

移动 $x^{6}$ 。

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 (x^{6} x^{2}) - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{6 + 2} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.3

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 3.3.1.4.1

移动 $x^{6}$ 。

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 (x^{6} x)) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.2

将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 (x^{6} x^{1})) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 x^{6 + 1}) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.3

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 x^{7}) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.5

将 $- 3$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} + 21 x^{7} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.6

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} + 21 x^{7} - 14 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

从 $2 x^{8}$ 中减去 $7 x^{8}$ 。

$\frac{- 5 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 + 21 x^{7} - 14 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

将 $- 3 x^{7}$ 和 $21 x^{7}$ 相加。

$\frac{- 5 x^{8} + 18 x^{7} - 4 x + 6 - 14 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$\frac{- 5 x^{8} + 18 x^{7} - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5

从 $- 5 x^{8}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (5 x^{8}) + 18 x^{7} - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.6

从 $18 x^{7}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (5 x^{8}) - (- 18 x^{7}) - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.7

从 $- (5 x^{8}) - (- 18 x^{7})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7}) - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.8

从 $- 14 x^{6}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7}) - (14 x^{6}) - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.9

从 $- (5 x^{8} - 18 x^{7}) - (14 x^{6})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6}) - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.10

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6}) - (4 x) + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.11

从 $- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6}) - (4 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x) + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.12

将 $6$ 重写为 $- 1 (- 6)$ 。

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x) - 1 (- 6)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.13

从 $- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x) - 1 (- 6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.14

将 $- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)$ 重写为 $- 1 (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)$ 。

$\frac{- 1 (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

微积分学 示例

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