微积分学示例

$\frac{1 - 3 x}{3 x}$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1 - 3 x}{3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 3 x}{x}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 3 x}{x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - 3 x$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [1 - 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [- 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (- 3 \cdot 1) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x \cdot - 3 - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.6.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \cdot x - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x - (1 - 3 x) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 3.8

合并分数。

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解题步骤 3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x - (1 - 3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 3.8.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{- 3 x - (1 - 3 x)}{x^{2}}$ 。

$\frac{- 3 x - (1 - 3 x)}{3 x^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{- 3 x - 1 \cdot 1 - (- 3 x)}{3 x^{2}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3 x - 1 - (- 3 x)}{3 x^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 x - 1 + 3 x}{3 x^{2}}$

解题步骤 4.2.2

合并 $- 3 x - 1 + 3 x$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $- 3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{0 - 1}{3 x^{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 1}{3 x^{2}}$

解题步骤 4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3 x^{2}}$

微积分学 示例

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