微积分学示例

$\frac{1 - 6 x}{e^{3 x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - 6 x$ 且 $g (x) = e^{3 x}$ 。

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${(e^{3 x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $1 - 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

$\frac{e^{3 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{e^{3 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 2.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 相加。

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [- 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 2.5

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{e^{3 x} (- 6 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{3 x} (- 6 \cdot 1) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 2.7

化简表达式。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{3 x} \cdot - 6 - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 2.7.2

将 $- 6$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$\frac{- 6 \cdot e^{3 x} - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

解题步骤 3.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

解题步骤 4.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

解题步骤 4.4

将 $e^{3 x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{- 6 e^{3 x} + (- 3 \cdot 1 - 3 (- 6 x)) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 \cdot 1 e^{3 x} - 3 (- 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 e^{3 x} - 3 (- 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 5.3.1.2

将 $- 6$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 e^{3 x} + 18 x e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 5.3.2

从 $- 6 e^{3 x}$ 中减去 $3 e^{3 x}$ 。

$\frac{- 9 e^{3 x} + 18 x e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 5.4

重新排序项。

$\frac{18 e^{3 x} x - 9 e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 5.5

从 $18 e^{3 x} x - 9 e^{3 x}$ 中分解出因数 $9 e^{3 x}$ 。

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解题步骤 5.5.1

从 $18 e^{3 x} x$ 中分解出因数 $9 e^{3 x}$ 。

$\frac{9 e^{3 x} (2 x) - 9 e^{3 x}}{e^{6 x}}$

解题步骤 5.5.2

从 $- 9 e^{3 x}$ 中分解出因数 $9 e^{3 x}$ 。

$\frac{9 e^{3 x} (2 x) + 9 e^{3 x} (- 1)}{e^{6 x}}$

解题步骤 5.5.3

从 $9 e^{3 x} (2 x) + 9 e^{3 x} (- 1)$ 中分解出因数 $9 e^{3 x}$ 。

$\frac{9 e^{3 x} (2 x - 1)}{e^{6 x}}$

解题步骤 5.6

约去 $e^{3 x}$ 和 $e^{6 x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1

从 $9 e^{3 x} (2 x - 1)$ 中分解出因数 $e^{6 x}$ 。

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x}}$

解题步骤 5.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x} \cdot 1}$

解题步骤 5.6.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x} \cdot 1}$

解题步骤 5.6.2.3

重写表达式。

$\frac{9 e^{- 3 x} (2 x - 1)}{1}$

解题步骤 5.6.2.4

用 $9 e^{- 3 x} (2 x - 1)$ 除以 $1$ 。

$9 e^{- 3 x} (2 x - 1)$

解题步骤 5.7

运用分配律。

$9 e^{- 3 x} (2 x) + 9 e^{- 3 x} \cdot - 1$

解题步骤 5.8

使用乘法的交换性质重写。

$9 \cdot 2 e^{- 3 x} x + 9 e^{- 3 x} \cdot - 1$

解题步骤 5.9

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$9 \cdot 2 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$

解题步骤 5.10

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$18 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$

解题步骤 5.11

将 $18 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$ 中的因式重新排序。

$18 x e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x}$

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