微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (9 x)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (9 x)$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [9 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 12 x + 9$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 9$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $3 x^{2} - 12 x + 9$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) - 12 x + 9 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 9 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 4 x + 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $3$ ，和为 $- 4$ 。

$- 3, - 1$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$3 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$3 (x - 3) (x - 1) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.6

最终解为使 $3 (x - 3) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, 1$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $3, 1$ 。

$3, 1$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 9$

解题步骤 5.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 9$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 12$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 0 + 9$

解题步骤 5.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = 0 + 9$

解题步骤 5.2.2.2

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$f' (0) = 9$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $9$ 。

$9$

解题步骤 5.3

在 $x = 0$ 处，导数为 $9$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, 1)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 1)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(1, 3)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 9$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 9$

解题步骤 6.2.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f' (2) = 12 - 12 \cdot 2 + 9$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 12$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = 12 - 24 + 9$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $12$ 中减去 $24$ 。

$f' (2) = - 12 + 9$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 12$ 和 $9$ 相加。

$f' (2) = - 3$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 6.3

在 $x = 2$ 处，导数为 $- 3$ 。由于其值为负，函数在 $(1, 3)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(1, 3)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(3, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 9$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 9$

解题步骤 7.2.1.2

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f' (4) = 48 - 12 \cdot 4 + 9$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 12$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = 48 - 48 + 9$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $48$ 中减去 $48$ 。

$f' (4) = 0 + 9$

解题步骤 7.2.2.2

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$f' (4) = 9$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $9$ 。

$9$

解题步骤 7.3

在 $x = 4$ 处，导数为 $9$ 。由于其值为正，函数在 $(3, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(3, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, 1), (3, \infty)$

递减于： $(1, 3)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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