微积分学示例

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) x$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = (8 - 2 x) (3 - 2 x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [(8 - 2 x) (3 - 2 x)]$

解题步骤 2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [(8 - 2 x) (3 - 2 x)]$

解题步骤 2.2

将 $8 - 2 x$ 乘以 $1$ 。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x \frac{d}{d x} [(8 - 2 x) (3 - 2 x)]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 8 - 2 x$ 且 $g (x) = 3 - 2 x$ 。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x ((8 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 2 x] + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [8 - 2 x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $3 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x ((8 - 2 x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [8 - 2 x])$

解题步骤 4.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x ((8 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [8 - 2 x])$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 相加。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x ((8 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [8 - 2 x])$

解题步骤 4.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x ((8 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [8 - 2 x])$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x ((8 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [8 - 2 x])$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x ((8 - 2 x) \cdot - 2 + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [8 - 2 x])$

解题步骤 4.6.2

将 $- 2$ 移到 $8 - 2 x$ 的左侧。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x (- 2 \cdot (8 - 2 x) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [8 - 2 x])$

解题步骤 4.7

根据加法法则， $8 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x (- 2 (8 - 2 x) + (3 - 2 x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

解题步骤 4.8

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x (- 2 (8 - 2 x) + (3 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

解题步骤 4.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 相加。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x (- 2 (8 - 2 x) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 4.10

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x (- 2 (8 - 2 x) + (3 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x (- 2 (8 - 2 x) + (3 - 2 x) (- 2 \cdot 1))$

解题步骤 4.12

化简表达式。

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解题步骤 4.12.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x (- 2 (8 - 2 x) + (3 - 2 x) \cdot - 2)$

解题步骤 4.12.2

将 $- 2$ 移到 $3 - 2 x$ 的左侧。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x (- 2 (8 - 2 x) - 2 \cdot (3 - 2 x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x (- 2 \cdot 8 - 2 (- 2 x) - 2 (3 - 2 x))$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x (- 2 \cdot 8 - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 3 - 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$(8 - 2 x) (3 - 2 x) + x (- 2 \cdot 8) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$(8 - 2 x) \cdot 3 + (8 - 2 x) (- 2 x) + x (- 2 \cdot 8) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.5

运用分配律。

$8 \cdot 3 - 2 x \cdot 3 + (8 - 2 x) (- 2 x) + x (- 2 \cdot 8) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.6

运用分配律。

$8 \cdot 3 - 2 x \cdot 3 + 8 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + x (- 2 \cdot 8) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7

合并项。

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解题步骤 5.7.1

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$24 - 2 x \cdot 3 + 8 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + x (- 2 \cdot 8) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$24 - 6 x + 8 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + x (- 2 \cdot 8) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.3

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$24 - 6 x - 16 x - 2 x (- 2 x) + x (- 2 \cdot 8) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.4

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$24 - 6 x - 16 x + 4 x \cdot x + x (- 2 \cdot 8) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$24 - 6 x - 16 x + 4 (x^{1} x) + x (- 2 \cdot 8) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$24 - 6 x - 16 x + 4 (x^{1} x^{1}) + x (- 2 \cdot 8) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$24 - 6 x - 16 x + 4 x^{1 + 1} + x (- 2 \cdot 8) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$24 - 6 x - 16 x + 4 x^{2} + x (- 2 \cdot 8) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.9

从 $- 6 x$ 中减去 $16 x$ 。

$24 - 22 x + 4 x^{2} + x (- 2 \cdot 8) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.10

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$24 - 22 x + 4 x^{2} + x \cdot - 16 + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.11

将 $- 16$ 移到 $x$ 的左侧。

$24 - 22 x + 4 x^{2} - 16 \cdot x + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.12

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$24 - 22 x + 4 x^{2} - 16 x + x (4 x) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$24 - 22 x + 4 x^{2} - 16 x + 4 (x^{1} x) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$24 - 22 x + 4 x^{2} - 16 x + 4 (x^{1} x^{1}) + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$24 - 22 x + 4 x^{2} - 16 x + 4 x^{1 + 1} + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$24 - 22 x + 4 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} + x (- 2 \cdot 3) + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.17

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$24 - 22 x + 4 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} + x \cdot - 6 + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.18

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$24 - 22 x + 4 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 6 \cdot x + x (- 2 (- 2 x))$

解题步骤 5.7.19

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$24 - 22 x + 4 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 6 x + x (4 x)$

解题步骤 5.7.20

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$24 - 22 x + 4 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 6 x + 4 (x^{1} x)$

解题步骤 5.7.21

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$24 - 22 x + 4 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 6 x + 4 (x^{1} x^{1})$

解题步骤 5.7.22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$24 - 22 x + 4 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 6 x + 4 x^{1 + 1}$

解题步骤 5.7.23

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$24 - 22 x + 4 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 6 x + 4 x^{2}$

解题步骤 5.7.24

从 $- 16 x$ 中减去 $6 x$ 。

$24 - 22 x + 4 x^{2} + 4 x^{2} - 22 x + 4 x^{2}$

解题步骤 5.7.25

将 $4 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$24 - 22 x + 4 x^{2} + 8 x^{2} - 22 x$

解题步骤 5.7.26

将 $4 x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$24 - 22 x + 12 x^{2} - 22 x$

解题步骤 5.7.27

从 $- 22 x$ 中减去 $22 x$ 。

$24 + 12 x^{2} - 44 x$

解题步骤 5.8

重新排序项。

$12 x^{2} - 44 x + 24$

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