微积分学示例

$(3 x^{2} + 7) (x^{2} - 2 x + 3)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3 x^{2} + 7$ 且 $g (x) = x^{2} - 2 x + 3$ 。

$(3 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 3] + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$(3 x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(3 x^{2} + 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

解题步骤 2.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

解题步骤 2.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

解题步骤 2.6

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

解题步骤 2.7

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $3 x^{2} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 2.9

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 2.11

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (6 x + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 2.12

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (6 x + 0)$

解题步骤 2.13

化简表达式。

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解题步骤 2.13.1

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (6 x)$

解题步骤 2.13.2

将 $6$ 移到 $x^{2} - 2 x + 3$ 的左侧。

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + 6 \cdot (x^{2} - 2 x + 3) x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (6 x^{2} + 6 (- 2 x) + 6 \cdot 3) x$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$(3 x^{2} + 7) (2 x) + (3 x^{2} + 7) \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$3 x^{2} (2 x) + 7 (2 x) + (3 x^{2} + 7) \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.5

运用分配律。

$3 x^{2} (2 x) + 7 (2 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 + 7 \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.6

合并项。

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解题步骤 3.6.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{2} x + 7 (2 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 + 7 \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.6.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 (x^{1} x^{2}) + 7 (2 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 + 7 \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 x^{1 + 2} + 7 (2 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 + 7 \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.6.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$6 x^{3} + 7 (2 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 + 7 \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.6.5

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$6 x^{3} + 14 x + 3 x^{2} \cdot - 2 + 7 \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.6.6

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} + 7 \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.6.7

将 $7$ 乘以 $- 2$ 。

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.6.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 (x^{1} x^{2}) + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.6.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{1 + 2} + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.6.10

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{3} + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.6.11

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{3} - 12 x \cdot x + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.6.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{3} - 12 (x^{1} x) + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.6.13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{3} - 12 (x^{1} x^{1}) + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.6.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{3} - 12 x^{1 + 1} + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.6.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \cdot 3 x$

解题步骤 3.6.16

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 18 x$

解题步骤 3.6.17

将 $6 x^{3}$ 和 $6 x^{3}$ 相加。

$12 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 - 12 x^{2} + 18 x$

解题步骤 3.6.18

从 $- 6 x^{2}$ 中减去 $12 x^{2}$ 。

$12 x^{3} + 14 x - 18 x^{2} - 14 + 18 x$

解题步骤 3.6.19

将 $14 x$ 和 $18 x$ 相加。

$12 x^{3} + 32 x - 18 x^{2} - 14$

解题步骤 3.7

重新排序项。

$12 x^{3} - 18 x^{2} + 32 x - 14$

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