微积分学示例

$3 x^{2} \sec (x) + \sin (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $3 x^{2} \sec (x) + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2} \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sec (x)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 x)) + \cos (x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x))) + 3 (\sec (x) (2 x)) + \cos (x)$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + 6 \sec (x) x + \cos (x)$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$3 x^{2} \sec (x) \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.4

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$3 x^{2} \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.4.2

乘以 $3 x^{2} \frac{1}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$x^{2} \frac{3}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.4.2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{3}{\cos (x)}$ 。

$\frac{x^{2} \cdot 3}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.4.3

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.4.4

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.4.5

合并。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.4.6

化简分母。

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解题步骤 4.4.6.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.4.6.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.4.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.4.6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.4.7

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 6 x \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.4.8

乘以 $6 x \frac{1}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 4.4.8.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x \frac{6}{\cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.4.8.2

组合 $x$ 和 $\frac{6}{\cos (x)}$ 。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{x \cdot 6}{\cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.4.9

将 $6$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5

化简每一项。

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解题步骤 4.5.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.2

分离分数。

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.4

组合 $\frac{3 x^{2}}{\cos (x)}$ 和 $\tan (x)$ 。

$\frac{3 x^{2} \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.5

分离分数。

$\frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.6

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.7

将 $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{3 x^{2}}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.8

化简。

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解题步骤 4.5.8.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{3 x^{2}}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.8.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{3 x^{2}}{1} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.9

用 $3 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.6

将 $3 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$ 中的因式重新排序。

$3 x^{2} \tan (x) \sec (x) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

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