微积分学示例

$(4 x + 1) {(1 - x)}^{3}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 4 x + 1$ 且 $g (x) = {(1 - x)}^{3}$ 。

$(4 x + 1) \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{3}] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 1 - x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x$ 。

$(4 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(4 x + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

解题步骤 2.3

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(4 x + 1) (3 {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $3$ 移到 $4 x + 1$ 的左侧。

$3 \cdot (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

解题步骤 3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

解题步骤 3.6

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \cdot 1 + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

解题步骤 3.8

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

解题步骤 3.9

根据加法法则， $4 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.10

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.12

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.13

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + 0)$

解题步骤 3.14

化简表达式。

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解题步骤 3.14.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \cdot 4$

解题步骤 3.14.2

将 $4$ 移到 ${(1 - x)}^{3}$ 的左侧。

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + 4 \cdot {(1 - x)}^{3}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$(- 3 (4 x) - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

解题步骤 4.2

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$(- 12 x - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

解题步骤 4.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

解题步骤 4.4

从 $(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$ 中分解出因数 ${(1 - x)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.1

从 $(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2}$ 中分解出因数 ${(1 - x)}^{2}$ 。

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + 4 {(1 - x)}^{3}$

解题步骤 4.4.2

从 $4 {(1 - x)}^{3}$ 中分解出因数 ${(1 - x)}^{2}$ 。

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$

解题步骤 4.4.3

从 ${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$ 中分解出因数 ${(1 - x)}^{2}$ 。

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

解题步骤 4.5

将 ${(1 - x)}^{2}$ 重写为 $(1 - x) (1 - x)$ 。

$(1 - x) (1 - x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

解题步骤 4.6

使用 FOIL 方法展开 $(1 - x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.6.1

运用分配律。

$(1 (1 - x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

解题步骤 4.6.2

运用分配律。

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

解题步骤 4.6.3

运用分配律。

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

解题步骤 4.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.7.1

化简每一项。

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解题步骤 4.7.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$(1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

解题步骤 4.7.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$(1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

解题步骤 4.7.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(1 - x - x - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

解题步骤 4.7.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

解题步骤 4.7.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.7.1.5.1

移动 $x$ 。

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

解题步骤 4.7.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

解题步骤 4.7.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(1 - x - x + 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

解题步骤 4.7.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$(1 - x - x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

解题步骤 4.7.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

解题步骤 4.8

化简每一项。

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解题步骤 4.8.1

运用分配律。

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 \cdot 1 + 4 (- x))$

解题步骤 4.8.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 + 4 (- x))$

解题步骤 4.8.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 - 4 x)$

解题步骤 4.9

从 $- 12 x$ 中减去 $4 x$ 。

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x - 3 + 4)$

解题步骤 4.10

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$

解题步骤 4.11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$ 。

$1 (- 16 x) + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.12

化简每一项。

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解题步骤 4.12.1

将 $- 16 x$ 乘以 $1$ 。

$- 16 x + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.12.2

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- 16 x + 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.12.3

使用乘法的交换性质重写。

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.12.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.12.4.1

移动 $x$ 。

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.12.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.12.5

将 $- 2$ 乘以 $- 16$ 。

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.12.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.12.7

使用乘法的交换性质重写。

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{2} x + x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.12.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.12.8.1

移动 $x$ 。

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.12.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.12.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.12.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.12.8.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.12.9

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2}$

解题步骤 4.13

从 $- 16 x$ 中减去 $2 x$ 。

$- 18 x + 1 + 32 x^{2} - 16 x^{3} + x^{2}$

解题步骤 4.14

将 $32 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$- 18 x + 1 - 16 x^{3} + 33 x^{2}$

微积分学 示例

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