微积分学示例

$(\frac{3}{x} + x) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \frac{3}{x} + x$ 且 $g (x) = \frac{3}{x} - x$ 。

$(\frac{3}{x} + x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} - x] + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{3}{x} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$(\frac{3}{x} + x) (\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$(\frac{3}{x} + x) (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$(\frac{3}{x} + x) (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$(\frac{3}{x} + x) (3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

解题步骤 2.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

解题步骤 2.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1 \cdot 1) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

解题步骤 2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

解题步骤 2.9

根据加法法则， $\frac{3}{x} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.10

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.11

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.13

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 x^{- 2} + 1)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 x^{- 2} + 1)$

解题步骤 3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

解题步骤 3.3

合并项。

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解题步骤 3.3.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$(\frac{3}{x} + x) (\frac{- 3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

解题步骤 3.3.2

将负号移到分数的前面。

$(\frac{3}{x} + x) (- \frac{3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

解题步骤 3.3.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$(\frac{3}{x} + x) (- \frac{3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (\frac{- 3}{x^{2}} + 1)$

解题步骤 3.3.4

将负号移到分数的前面。

$(\frac{3}{x} + x) (- \frac{3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- \frac{3}{x^{2}} + 1)$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$(- \frac{3}{x^{2}} - 1) (\frac{3}{x} + x) + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1

使用 FOIL 方法展开 $(- \frac{3}{x^{2}} - 1) (\frac{3}{x} + x)$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

运用分配律。

$- \frac{3}{x^{2}} (\frac{3}{x} + x) - 1 (\frac{3}{x} + x) + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.1.2

运用分配律。

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 (\frac{3}{x} + x) + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.1.3

运用分配律。

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1.1

乘以 $- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1.1

将 $\frac{3}{x}$ 乘以 $\frac{3}{x^{2}}$ 。

$- \frac{3 \cdot 3}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.2.1.1.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{9}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.2.1.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{9}{x^{1} x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.2.1.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{9}{x^{1 + 2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.2.1.1.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.2.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.2.1

将 $- \frac{3}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.2.1.2.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.2.1.2.3

约去公因数。

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.2.1.2.4

重写表达式。

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x} - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x} - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.2.1.4

将 $- 1 \frac{3}{x}$ 重写为 $- \frac{3}{x}$ 。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x} - \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.2.1.5

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x} - \frac{3}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.2.2

从 $- \frac{3}{x}$ 中减去 $\frac{3}{x}$ 。

$- \frac{9}{x^{3}} - 2 \frac{3}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.3

化简每一项。

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解题步骤 3.5.3.1

乘以 $- 2 \frac{3}{x}$ 。

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解题步骤 3.5.3.1.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{x}$ 。

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 2 \cdot 3}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 6}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.4

使用 FOIL 方法展开 $(- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$ 。

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解题步骤 3.5.4.1

运用分配律。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3}{x^{2}} (\frac{3}{x} - x) + 1 (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.4.2

运用分配律。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 (\frac{3}{x} - x)$

解题步骤 3.5.4.3

运用分配律。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

解题步骤 3.5.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.5.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.5.1.1

乘以 $- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x}$ 。

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解题步骤 3.5.5.1.1.1

将 $\frac{3}{x}$ 乘以 $\frac{3}{x^{2}}$ 。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3 \cdot 3}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

解题步骤 3.5.5.1.1.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

解题步骤 3.5.5.1.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.5.1.1.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.5.1.1.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{1} x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

解题步骤 3.5.5.1.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{1 + 2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

解题步骤 3.5.5.1.1.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

解题步骤 3.5.5.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.5.1.2.1

将 $- \frac{3}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

解题步骤 3.5.5.1.2.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

解题步骤 3.5.5.1.2.3

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

解题步骤 3.5.5.1.2.4

约去公因数。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

解题步骤 3.5.5.1.2.5

重写表达式。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x} \cdot - 1 + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

解题步骤 3.5.5.1.3

组合 $\frac{- 3}{x}$ 和 $- 1$ 。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3 \cdot - 1}{x} + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

解题步骤 3.5.5.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{3}{x} + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

解题步骤 3.5.5.1.5

将 $\frac{3}{x}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{3}{x} + \frac{3}{x} + 1 (- x)$

解题步骤 3.5.5.1.6

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{3}{x} + \frac{3}{x} - x$

解题步骤 3.5.5.2

将 $\frac{3}{x}$ 和 $\frac{3}{x}$ 相加。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + 2 \frac{3}{x} - x$

解题步骤 3.5.6

乘以 $2 \frac{3}{x}$ 。

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解题步骤 3.5.6.1

组合 $2$ 和 $\frac{3}{x}$ 。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{2 \cdot 3}{x} - x$

解题步骤 3.5.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{6}{x} - x$

解题步骤 3.6

合并 $- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{6}{x} - x$ 中相反的项。

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解题步骤 3.6.1

将 $- \frac{6}{x}$ 和 $\frac{6}{x}$ 相加。

$- \frac{9}{x^{3}} - x - \frac{9}{x^{3}} + 0 - x$

解题步骤 3.6.2

将 $- \frac{9}{x^{3}} - x - \frac{9}{x^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{9}{x^{3}} - x - \frac{9}{x^{3}} - x$

解题步骤 3.7

在公分母上合并分子。

$- x - x + \frac{- 9 - 9}{x^{3}}$

解题步骤 3.8

从 $- 9$ 中减去 $9$ 。

$- x - x + \frac{- 18}{x^{3}}$

解题步骤 3.9

将负号移到分数的前面。

$- x - x - \frac{18}{x^{3}}$

解题步骤 3.10

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$- 2 x - \frac{18}{x^{3}}$

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