微积分学示例

$(\frac{1}{x - 2}) (\frac{3}{x^{2} + 2})$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{x - 2}$ 乘以 $\frac{3}{x^{2} + 2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$

解题步骤 1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{(x - 2) (x^{2} + 2)}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$

解题步骤 1.3

将 $\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}$ 重写为 ${((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 1}$ 。

$3 \frac{d}{d x} [{((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = (x - 2) (x^{2} + 2)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $(x - 2) (x^{2} + 2)$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

解题步骤 2.3

使用 $(x - 2) (x^{2} + 2)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (- {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

解题步骤 3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 ({((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 2$ 且 $g (x) = x^{2} + 2$ 。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 5

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

根据加法法则， $x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 5.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 5.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 5.4.2

将 $2$ 移到 $x - 2$ 的左侧。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 5.5

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

解题步骤 5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

解题步骤 5.7

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (1 + 0))$

解题步骤 5.8

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) \cdot 1)$

解题步骤 5.8.2

将 $x^{2} + 2$ 乘以 $1$ 。

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

解题步骤 6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 3 \frac{1}{{((x - 2) (x^{2} + 2))}^{2}} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

解题步骤 6.2

对 $(x - 2) (x^{2} + 2)$ 运用乘积法则。

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} ((2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} + 2)$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

解题步骤 6.5

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$ 。

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

解题步骤 6.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

解题步骤 6.5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

解题步骤 6.5.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

解题步骤 6.5.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

解题步骤 6.5.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

解题步骤 6.5.7

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{2} - 4 x + x^{2} + 2)$

解题步骤 6.5.8

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (3 x^{2} - 4 x + 2)$

解题步骤 6.6

重新排序 $- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (3 x^{2} - 4 x + 2)$ 的因式。

$- (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.7

运用分配律。

$(- (3 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.8.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 3 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.8.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 3 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.8.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(- 3 x^{2} + 4 x - 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.9

将 $- 3 x^{2} + 4 x - 2$ 乘以 $\frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$ 。

$\frac{(- 3 x^{2} + 4 x - 2) \cdot 3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.10

将 $3$ 移到 $- 3 x^{2} + 4 x - 2$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (- 3 x^{2} + 4 x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.11

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (3 x^{2}) + 4 x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.12

从 $4 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (3 x^{2}) - (- 4 x) - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.13

从 $- (3 x^{2}) - (- 4 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x) - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.14

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x) - 1 (2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.15

从 $- (3 x^{2} - 4 x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x + 2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.16

将 $- (3 x^{2} - 4 x + 2)$ 重写为 $- 1 (3 x^{2} - 4 x + 2)$ 。

$\frac{3 (- 1 (3 x^{2} - 4 x + 2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.17

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 (3 x^{2} - 4 x + 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例