微积分学示例

$(\frac{x^{3}}{9}) (3 \ln (x) - 1)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \frac{x^{3}}{9}$ 且 $g (x) = 3 \ln (x) - 1$ 。

$\frac{x^{3}}{9} \frac{d}{d x} [3 \ln (x) - 1] + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 \ln (x) - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{x^{3}}{9} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{3}}{9} (3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 4.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{3}{x} + 0) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 4.3

化简项。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{3}{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{3}}{9} \cdot \frac{3}{x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{x^{3}}{9}$ 乘以 $\frac{3}{x}$ 。

$\frac{x^{3} \cdot 3}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 4.3.3

将 $3$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot x^{3}}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 4.3.4

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{3})}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 4.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.4.2.1

从 $9 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{3})}{3 (3 x)} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 4.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{3 x^{3}}{3 (3 x)} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 4.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{3}}{3 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 4.3.5

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2}}{3 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 4.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.5.2.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 4.3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 4.3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 4.4

因为 $\frac{1}{9}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{3}}{9}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) (\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{1}{9} (3 x^{2})$

解题步骤 4.6

化简项。

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解题步骤 4.6.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3}{9} x^{2}$

解题步骤 4.6.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{3}{9}$ 。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2} \cdot 3}{9}$

解题步骤 4.6.3

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 \cdot x^{2}}{9}$

解题步骤 4.6.4

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.4.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 (x^{2})}{9}$

解题步骤 4.6.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.6.4.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.6.4.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.6.4.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$

解题步骤 5

要将 $(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 6

组合 $(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot 3}{3}$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot 3}{3}$

解题步骤 8

组合 $3$ 和 $\frac{x^{2}}{3}$ 。

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3}}{3}$

解题步骤 9

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3}}{3}$

解题步骤 9.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) x^{2}}{3}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 3 \ln (x) x^{2} - 1 x^{2}}{3}$

解题步骤 10.2

化简分子。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (x)$ 。

$\frac{x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - 1 x^{2}}{3}$

解题步骤 10.2.1.2

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - x^{2}}{3}$

解题步骤 10.2.2

合并 $x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 10.2.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{\ln (x^{3}) x^{2} + 0}{3}$

解题步骤 10.2.2.2

将 $\ln (x^{3}) x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\ln (x^{3}) x^{2}}{3}$

解题步骤 10.2.3

将 $\ln (x^{3}) x^{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{2} \ln (x^{3})}{3}$

解题步骤 10.3

通过将 $3$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{3})$ 。

$\frac{x^{2} (3 \ln (x))}{3}$

解题步骤 10.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} (3 \ln (x))}{3}$

解题步骤 10.4.2

用 $x^{2} (\ln (x))$ 除以 $1$ 。

$x^{2} (\ln (x))$

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