微积分学示例

$h (w) = \frac{8}{{(w^{3} + 4)}^{5}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

因为 $8$ 对于 $w$ 是常数，所以 $\frac{8}{{(w^{3} + 4)}^{5}}$ 对 $w$ 的导数是 $8 \frac{d}{d w} [\frac{1}{{(w^{3} + 4)}^{5}}]$ 。

$8 \frac{d}{d w} [\frac{1}{{(w^{3} + 4)}^{5}}]$

解题步骤 1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{1}{{(w^{3} + 4)}^{5}}$ 重写为 ${({(w^{3} + 4)}^{5})}^{- 1}$ 。

$8 \frac{d}{d w} [{({(w^{3} + 4)}^{5})}^{- 1}]$

解题步骤 1.2.2

将 ${({(w^{3} + 4)}^{5})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 4)}^{5 \cdot - 1}]$

解题步骤 1.2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$8 \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 4)}^{- 5}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 等于 $f' (g (w)) g' (w)$ ，其中 $f (w) = w^{- 5}$ 且 $g (w) = w^{3} + 4$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $w^{3} + 4$ 。

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 5}] \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 5$ 。

$8 (- 5 u^{- 6} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

解题步骤 2.3

使用 $w^{3} + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 (- 5 {(w^{3} + 4)}^{- 6} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 5$ 乘以 $8$ 。

$- 40 ({(w^{3} + 4)}^{- 6} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $w^{3} + 4$ 对 $w$ 的导数是 $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [4]$ 。

$- 40 {(w^{3} + 4)}^{- 6} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [4])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 40 {(w^{3} + 4)}^{- 6} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [4])$

解题步骤 3.4

因为 $4$ 对于 $w$ 是常数，所以 $4$ 对 $w$ 的导数为 $0$ 。

$- 40 {(w^{3} + 4)}^{- 6} (3 w^{2} + 0)$

解题步骤 3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.1

将 $3 w^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 40 {(w^{3} + 4)}^{- 6} (3 w^{2})$

解题步骤 3.5.2

将 $3$ 乘以 $- 40$ 。

$- 120 {(w^{3} + 4)}^{- 6} w^{2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 120 \frac{1}{{(w^{3} + 4)}^{6}} w^{2}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $- 120$ 和 $\frac{1}{{(w^{3} + 4)}^{6}}$ 。

$\frac{- 120}{{(w^{3} + 4)}^{6}} w^{2}$

解题步骤 4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{120}{{(w^{3} + 4)}^{6}} w^{2}$

解题步骤 4.2.3

组合 $w^{2}$ 和 $\frac{120}{{(w^{3} + 4)}^{6}}$ 。

$- \frac{w^{2} \cdot 120}{{(w^{3} + 4)}^{6}}$

解题步骤 4.2.4

将 $120$ 移到 $w^{2}$ 的左侧。

$- \frac{120 w^{2}}{{(w^{3} + 4)}^{6}}$

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