微积分学示例

$(1 + \sec (x)) \sin (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 1 + \sec (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

解题步骤 2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 + \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 。

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 相加。

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 4

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\sec (x) \tan (x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$1 \cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 5.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$\cos (x) \sec (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

解题步骤 5.4

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 5.4.1.1

将 $\cos (x)$ 和 $\sec (x)$ 重新排序。

$\sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

解题步骤 5.4.1.2

将 $\cos (x) \sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

解题步骤 5.4.1.3

约去公因数。

$1 + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

解题步骤 5.4.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 + \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

解题步骤 5.4.3

组合 $\frac{1}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + \cos (x)$

解题步骤 5.4.4

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 5.4.5

乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 5.4.5.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$1 + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 5.4.5.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 5.4.5.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 5.4.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 5.4.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 5.4.5.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x)$

解题步骤 5.4.5.7

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x)$

解题步骤 5.4.5.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x)$

解题步骤 5.4.5.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x)$

解题步骤 5.5

将 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\tan^{2} (x)$ 。

$1 + \tan^{2} (x) + \cos (x)$

解题步骤 5.6

重新整理项。

$\tan^{2} (x) + 1 + \cos (x)$

解题步骤 5.7

使用勾股恒等式。

$\sec^{2} (x) + \cos (x)$

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