微积分学示例

$s (t) = 41 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5}}$

解题步骤 1

因为 $41$ 对于 $t$ 是常数，所以 $41 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5}}$ 对 $t$ 的导数是 $41 \frac{d}{d t} [{(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5}}]$ 。

$41 \frac{d}{d t} [{(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{6}{5}}$ 且 $g (t) = 8 t^{3} - 9$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 t^{3} - 9$ 。

$41 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{6}{5}}] \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{6}{5}$ 。

$41 (\frac{6}{5} u^{\frac{6}{5} - 1} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

解题步骤 2.3

使用 $8 t^{3} - 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5} - 1} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{6 - 5}{5}} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

解题步骤 6.2

从 $6$ 中减去 $5$ 。

$41 (\frac{6}{5} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{6}{5}$ 和 ${(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}$ 。

$41 (\frac{6 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9])$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{6 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5}$ 和 $41$ 。

$\frac{6 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}} \cdot 41}{5} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9]$

解题步骤 7.3

将 $41$ 乘以 $6$ 。

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 9]$

解题步骤 8

根据加法法则， $8 t^{3} - 9$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ 。

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (\frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9])$

解题步骤 9

因为 $8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $8 t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $8 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (8 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9])$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (8 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 9])$

解题步骤 11

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (24 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 9])$

解题步骤 12

因为 $- 9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (24 t^{2} + 0)$

解题步骤 13

合并分数。

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解题步骤 13.1

将 $24 t^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} (24 t^{2})$

解题步骤 13.2

组合 $24$ 和 $\frac{246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5}$ 。

$\frac{24 (246 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}})}{5} t^{2}$

解题步骤 13.3

将 $246$ 乘以 $24$ 。

$\frac{5904 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5} t^{2}$

解题步骤 13.4

组合 $\frac{5904 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5}$ 和 $t^{2}$ 。

$\frac{5904 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}} t^{2}}{5}$

解题步骤 13.5

将 $5904 {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}} t^{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{5904 t^{2} {(8 t^{3} - 9)}^{\frac{1}{5}}}{5}$

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