微积分学示例

$p (t) = \frac{8 t}{{(t + 5)}^{2}}$

解题步骤 1

因为 $8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{8 t}{{(t + 5)}^{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{2}}]$ 。

$8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{2}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = {(t + 5)}^{2}$ 。

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{({(t + 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${({(t + 5)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{(t + 5)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{(t + 5)}^{4}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{(t + 5)}^{4}}$

解题步骤 3.3

将 ${(t + 5)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{(t + 5)}^{4}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = t + 5$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t + 5$ 。

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

解题步骤 4.3

使用 $t + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - t (2 (t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

解题步骤 5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - 2 t ((t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

解题步骤 5.2

从 ${(t + 5)}^{2} - 2 t ((t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])$ 中分解出因数 $t + 5$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 ${(t + 5)}^{2}$ 中分解出因数 $t + 5$ 。

$8 \frac{(t + 5) (t + 5) - 2 t ((t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

解题步骤 5.2.2

从 $- 2 t ((t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])$ 中分解出因数 $t + 5$ 。

$8 \frac{(t + 5) (t + 5) + (t + 5) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))}{{(t + 5)}^{4}}$

解题步骤 5.2.3

从 $(t + 5) (t + 5) + (t + 5) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))$ 中分解出因数 $t + 5$ 。

$8 \frac{(t + 5) (t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))}{{(t + 5)}^{4}}$

解题步骤 6

约去公因数。

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解题步骤 6.1

从 ${(t + 5)}^{4}$ 中分解出因数 $t + 5$ 。

$8 \frac{(t + 5) (t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$8 \frac{(t + 5) (t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$8 \frac{t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 7

根据加法法则， $t + 5$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$ 。

$8 \frac{t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 \frac{t + 5 - 2 t (1 + \frac{d}{d t} [5])}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 9

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$8 \frac{t + 5 - 2 t (1 + 0)}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 10

化简项。

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解题步骤 10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$8 \frac{t + 5 - 2 t \cdot 1}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 10.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$8 \frac{t + 5 - 2 t}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 10.3

从 $t$ 中减去 $2 t$ 。

$8 \frac{- t + 5}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 10.4

组合 $8$ 和 $\frac{- t + 5}{{(t + 5)}^{3}}$ 。

$\frac{8 (- t + 5)}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{8 (- t) + 8 \cdot 5}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 11.2

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- 8 t + 8 \cdot 5}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 11.2.2

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 8 t + 40}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 11.3

从 $- 8 t + 40$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 11.3.1

从 $- 8 t$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- t) + 40}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 11.3.2

从 $40$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- t) + 8 (5)}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 11.3.3

从 $8 (- t) + 8 (5)$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- t + 5)}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 11.4

从 $- t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (t) + 5)}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 11.5

将 $5$ 重写为 $- 1 (- 5)$ 。

$\frac{8 (- (t) - 1 (- 5))}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 11.6

从 $- (t) - 1 (- 5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (t - 5))}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 11.7

将 $- (t - 5)$ 重写为 $- 1 (t - 5)$ 。

$\frac{8 (- 1 (t - 5))}{{(t + 5)}^{3}}$

解题步骤 11.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8 (t - 5)}{{(t + 5)}^{3}}$

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