微积分学示例

$p (t) = \frac{\sqrt{t}}{t - 1}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t - 1}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = t - 1$ 。

$\frac{(t - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(t - 1) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 9

根据加法法则， $t - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 11

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 12

化简表达式。

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解题步骤 12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 12.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$\frac{t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2

化简分子。

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解题步骤 13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1.1

组合 $t$ 和 $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{t}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $t^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{\frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.3

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 13.2.1.3.1

将 $t$ 乘以 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 13.2.1.3.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{t^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{t^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.3.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.4

将 $- 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 $- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.2

要将 $- t^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3

组合 $- t^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.5

化简每一项。

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解题步骤 13.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 13.2.5.1.1

从 $t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 13.2.5.1.1.1

移动 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.5.1.1.2

乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 1 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.5.1.1.3

从 $- 1 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.5.1.1.4

从 $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 - 1 \cdot 2)}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 - 2)}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.5.2

将 $- 1$ 移到 $t^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{\frac{- 1 \cdot t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.3

化简分子。

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解题步骤 13.3.1

从 $- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 13.3.1.1

从 $- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.3.1.2

从 $- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}) - (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.3.1.3

从 $- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}) - (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.3.2

要将 $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.3.3

将 $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.3.5

化简分子。

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解题步骤 13.3.5.1

通过指数相加将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 13.3.5.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.3.5.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- \frac{t^{\frac{1 + 1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.3.5.1.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \frac{t^{\frac{2}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.3.5.1.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{- \frac{t^{1} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.3.5.2

化简 $t^{1}$ 。

$\frac{- \frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.4

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 13.5

将 $\frac{1}{{(t - 1)}^{2}}$ 乘以 $\frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{t + 1}{{(t - 1)}^{2} (2 t^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 13.6

将 $2$ 移到 ${(t - 1)}^{2}$ 的左侧。

$- \frac{t + 1}{2 \cdot {(t - 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 13.7

将 $- \frac{t + 1}{2 {(t - 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t - 1)}^{2}}$

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