微积分学示例

$\ln (t \cdot 5^{t})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \ln (t)$ 且 $g (t) = t \cdot 5^{t}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t \cdot 5^{t}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

解题步骤 1.3

使用 $t \cdot 5^{t}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = 5^{t}$ 。

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t \frac{d}{d t} [5^{t}] + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 等于 $a^{t} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $5$ 。

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \cdot 1)$

解题步骤 4.2

将 $5^{t}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5))) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $t$ 和 $\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ 。

$\frac{t}{t \cdot 5^{t}} (5^{t} \ln (5)) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

解题步骤 5.2.2

组合 $5^{t}$ 和 $\frac{t}{t \cdot 5^{t}}$ 。

$\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}} \ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

解题步骤 5.2.3

组合 $\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}}$ 和 $\ln (5)$ 。

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

解题步骤 5.2.4

约去 $5^{t}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

解题步骤 5.2.4.2

重写表达式。

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

解题步骤 5.2.5

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.1

约去公因数。

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

解题步骤 5.2.5.2

用 $\ln (5)$ 除以 $1$ 。

$\ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

解题步骤 5.2.6

组合 $\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ 和 $5^{t}$ 。

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

解题步骤 5.2.7

约去 $5^{t}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.7.1

约去公因数。

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

解题步骤 5.2.7.2

重写表达式。

$\ln (5) + \frac{1}{t}$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$\frac{1}{t} + \ln (5)$

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