微积分学示例

$\ln (\sin (t^{2}))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \ln (t)$ 且 $g (t) = \sin (t^{2})$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (t^{2})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (t^{2})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\sin (t^{2})} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{\sin (t^{2})}$ 转换成 $\csc (t^{2})$ 。

$\csc (t^{2}) \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = t^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $t^{2}$ 。

$\csc (t^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 3.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$\csc (t^{2}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 3.3

使用 $t^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\csc (t^{2}) (\cos (t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\csc (t^{2}) \cos (t^{2}) (2 t)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序 $\csc (t^{2}) \cos (t^{2}) (2 t)$ 的因式。

$2 t \cos (t^{2}) \csc (t^{2})$

解题步骤 5.2

将 $\csc (t^{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 t \cos (t^{2}) \frac{1}{\sin (t^{2})}$

解题步骤 5.3

乘以 $2 t \cos (t^{2}) \frac{1}{\sin (t^{2})}$ 。

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解题步骤 5.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\sin (t^{2})}$ 。

$t \cos (t^{2}) \frac{2}{\sin (t^{2})}$

解题步骤 5.3.2

组合 $\frac{2}{\sin (t^{2})}$ 和 $t$ 。

$\frac{2 t}{\sin (t^{2})} \cos (t^{2})$

解题步骤 5.3.3

组合 $\frac{2 t}{\sin (t^{2})}$ 和 $\cos (t^{2})$ 。

$\frac{2 t \cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$

解题步骤 5.4

分离分数。

$\frac{2 t}{1} \cdot \frac{\cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$

解题步骤 5.5

将 $\frac{\cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$ 转换成 $\cot (t^{2})$ 。

$\frac{2 t}{1} \cot (t^{2})$

解题步骤 5.6

用 $2 t$ 除以 $1$ 。

$2 t \cot (t^{2})$

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