微积分学示例

$\sin (t) \cos (t)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = \cos (t)$ 。

$\sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \cos (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

解题步骤 2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$\sin (t) (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

解题步骤 3

对 $\sin (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\sin^{1} (t) \sin (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

解题步骤 4

对 $\sin (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- {\sin (t)}^{1 + 1} + \cos (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \sin^{2} (t) + \cos (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

解题步骤 7

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$- \sin^{2} (t) + \cos (t) \cos (t)$

解题步骤 8

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sin^{2} (t) + \cos^{1} (t) \cos (t)$

解题步骤 9

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sin^{2} (t) + \cos^{1} (t) \cos^{1} (t)$

解题步骤 10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \sin^{2} (t) + {\cos (t)}^{1 + 1}$

解题步骤 11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

将 $- \sin^{2} (t)$ 和 $\cos^{2} (t)$ 重新排序。

$\cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)$

解题步骤 12.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (t)$ 和 $b = \sin (t)$ 。

$(\cos (t) + \sin (t)) (\cos (t) - \sin (t))$

解题步骤 12.3

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (t) + \sin (t)) (\cos (t) - \sin (t))$ 。

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解题步骤 12.3.1

运用分配律。

$\cos (t) (\cos (t) - \sin (t)) + \sin (t) (\cos (t) - \sin (t))$

解题步骤 12.3.2

运用分配律。

$\cos (t) \cos (t) + \cos (t) (- \sin (t)) + \sin (t) (\cos (t) - \sin (t))$

解题步骤 12.3.3

运用分配律。

$\cos (t) \cos (t) + \cos (t) (- \sin (t)) + \sin (t) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))$

解题步骤 12.4

合并 $\cos (t) \cos (t) + \cos (t) (- \sin (t)) + \sin (t) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))$ 中相反的项。

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解题步骤 12.4.1

按照 $\cos (t) (- \sin (t))$ 和 $\sin (t) \cos (t)$ 重新排列因数。

$\cos (t) \cos (t) - \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \sin (t) + \sin (t) (- \sin (t))$

解题步骤 12.4.2

将 $- \cos (t) \sin (t)$ 和 $\cos (t) \sin (t)$ 相加。

$\cos (t) \cos (t) + 0 + \sin (t) (- \sin (t))$

解题步骤 12.4.3

将 $\cos (t) \cos (t)$ 和 $0$ 相加。

$\cos (t) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))$

解题步骤 12.5

化简每一项。

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解题步骤 12.5.1

乘以 $\cos (t) \cos (t)$ 。

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解题步骤 12.5.1.1

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (t) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))$

解题步骤 12.5.1.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (t) \cos^{1} (t) + \sin (t) (- \sin (t))$

解题步骤 12.5.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (t)}^{1 + 1} + \sin (t) (- \sin (t))$

解题步骤 12.5.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (t) + \sin (t) (- \sin (t))$

解题步骤 12.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{2} (t) - \sin (t) \sin (t)$

解题步骤 12.5.3

乘以 $- \sin (t) \sin (t)$ 。

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解题步骤 12.5.3.1

对 $\sin (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (t) - (\sin^{1} (t) \sin (t))$

解题步骤 12.5.3.2

对 $\sin (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (t) - (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t))$

解题步骤 12.5.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (t) - {\sin (t)}^{1 + 1}$

解题步骤 12.5.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)$

解题步骤 12.6

使用余弦倍角公式。

$\cos (2 t)$

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