微积分学示例

$y = 4 e^{t} (e^{4 t} - e^{t})$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 e^{t} (e^{4 t} - e^{t})$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [e^{t} (e^{4 t} - e^{t})]$ 。

$4 \frac{d}{d t} [e^{t} (e^{4 t} - e^{t})]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = e^{4 t} - e^{t}$ 。

$4 (e^{t} \frac{d}{d t} [e^{4 t} - e^{t}] + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 3

根据加法法则， $e^{4 t} - e^{t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]$ 。

$4 (e^{t} (\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = 4 t$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 t$ 。

$4 (e^{t} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 (e^{t} (e^{u} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 4.3

使用 $4 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (e^{t} (e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$4 (e^{t} (e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (e^{t} (e^{4 t} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 5.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 (e^{t} (e^{4 t} \cdot 4 + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 5.3.2

将 $4$ 移到 $e^{4 t}$ 的左侧。

$4 (e^{t} (4 \cdot e^{4 t} + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 5.4

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- e^{t}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [e^{t}]$ 。

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - \frac{d}{d t} [e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 6

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 等于 $a^{t} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 7

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 等于 $a^{t} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) e^{t})$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$4 (e^{t} (4 e^{4 t}) + e^{t} (- e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) e^{t})$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$4 (e^{t} (4 e^{4 t}) + e^{t} (- e^{t}) + e^{4 t} e^{t} - e^{t} e^{t})$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$4 (e^{t} (4 e^{4 t})) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

解题步骤 8.4

合并项。

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解题步骤 8.4.1

通过指数相加将 $e^{t}$ 乘以 $e^{4 t}$ 。

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解题步骤 8.4.1.1

移动 $e^{4 t}$ 。

$4 (e^{4 t} e^{t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

解题步骤 8.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (e^{4 t + t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

解题步骤 8.4.1.3

将 $4 t$ 和 $t$ 相加。

$4 (e^{5 t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

解题步骤 8.4.2

将 $4$ 移到 $e^{5 t}$ 的左侧。

$4 (4 \cdot e^{5 t}) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

解题步骤 8.4.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

解题步骤 8.4.4

通过指数相加将 $e^{t}$ 乘以 $e^{t}$ 。

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解题步骤 8.4.4.1

移动 $e^{t}$ 。

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t} e^{t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

解题步骤 8.4.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t + t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

解题步骤 8.4.4.3

将 $t$ 和 $t$ 相加。

$16 e^{5 t} + 4 (e^{2 t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

解题步骤 8.4.5

将 $- 1$ 移到 $e^{2 t}$ 的左侧。

$16 e^{5 t} + 4 (- 1 \cdot e^{2 t}) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

解题步骤 8.4.6

将 $- 1 e^{2 t}$ 重写为 $- e^{2 t}$ 。

$16 e^{5 t} + 4 (- e^{2 t}) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

解题步骤 8.4.7

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

解题步骤 8.4.8

通过指数相加将 $e^{4 t}$ 乘以 $e^{t}$ 。

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解题步骤 8.4.8.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{4 t + t} + 4 (- e^{t} e^{t})$

解题步骤 8.4.8.2

将 $4 t$ 和 $t$ 相加。

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{t} e^{t})$

解题步骤 8.4.9

通过指数相加将 $e^{t}$ 乘以 $e^{t}$ 。

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解题步骤 8.4.9.1

移动 $e^{t}$ 。

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- (e^{t} e^{t}))$

解题步骤 8.4.9.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{t + t})$

解题步骤 8.4.9.3

将 $t$ 和 $t$ 相加。

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{2 t})$

解题步骤 8.4.10

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} - 4 e^{2 t}$

解题步骤 8.4.11

将 $16 e^{5 t}$ 和 $4 e^{5 t}$ 相加。

$20 e^{5 t} - 4 e^{2 t} - 4 e^{2 t}$

解题步骤 8.4.12

从 $- 4 e^{2 t}$ 中减去 $4 e^{2 t}$ 。

$20 e^{5 t} - 8 e^{2 t}$

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