微积分学示例

$y (t) = \frac{c}{b - a} \cdot (e^{- a t} - e^{- b t})$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

因为 $\frac{c}{b - a}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} - e^{- b t})$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$ 。

$\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $e^{- a t} - e^{- b t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}]$ 。

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - a t$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- a t$ 。

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{c}{b - a} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

解题步骤 2.3

使用 $- a t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $- a$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- a t$ 对 $t$ 的导数是 $- a \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- e^{- b t}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [e^{- b t}]$ 。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - \frac{d}{d t} [e^{- b t}])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - b t$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- b t$ 。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- b t]))$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- b t]))$

解题步骤 4.3

使用 $- b t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{- b t} \frac{d}{d t} [- b t]))$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $- b$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- b t$ 对 $t$ 的导数是 $- b \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - e^{- b t} (- b \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 5.2

乘。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + 1 e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 5.2.2

将 $e^{- b t}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \cdot 1))$

解题步骤 5.4

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

重新排序 $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$ 的因式。

$(e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

解题步骤 6.2

使用乘法的交换性质重写。

$(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

解题步骤 6.3

将 $- e^{- a t} a + e^{- b t} b$ 乘以 $\frac{c}{b - a}$ 。

$\frac{(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) c}{b - a}$

解题步骤 6.4

从 $- e^{- a t} a$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (e^{- a t} a) + e^{- b t} b) c}{b - a}$

解题步骤 6.5

从 $e^{- b t} b$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)) c}{b - a}$

解题步骤 6.6

从 $- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

解题步骤 6.7

将 $- (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ 重写为 $- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ 。

$\frac{- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

解题步骤 6.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

解题步骤 6.9

将 $- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{c (a e^{- a t} - b e^{- b t})}{b - a}$

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