微积分学示例

$y = {(5 t^{2} - 4 t)}^{2}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = 5 t^{2} - 4 t$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 t^{2} - 4 t$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

解题步骤 1.3

使用 $5 t^{2} - 4 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 t^{2} - 4 t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ 。

$2 (5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

解题步骤 2.2

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

解题步骤 2.5

因为 $- 4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 4 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \cdot 1)$

解题步骤 2.7

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$(2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$(10 t^{2} + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

解题步骤 3.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$

解题步骤 3.3

重新排序 $(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$ 的因式。

$(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$

解题步骤 3.4

使用 FOIL 方法展开 $(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$ 。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$10 t (10 t^{2} - 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

解题步骤 3.4.2

运用分配律。

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

解题步骤 3.4.3

运用分配律。

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

解题步骤 3.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$10 \cdot 10 t \cdot t^{2} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

解题步骤 3.5.1.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1.2.1

移动 $t^{2}$ 。

$10 \cdot 10 (t^{2} t) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

解题步骤 3.5.1.2.2

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.5.1.2.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 \cdot 10 (t^{2} t^{1}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

解题步骤 3.5.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 \cdot 10 t^{2 + 1} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

解题步骤 3.5.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$10 \cdot 10 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

解题步骤 3.5.1.3

将 $10$ 乘以 $10$ 。

$100 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

解题步骤 3.5.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t \cdot t - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

解题步骤 3.5.1.5

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.5.1.5.1

移动 $t$ 。

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 (t \cdot t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

解题步骤 3.5.1.5.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

解题步骤 3.5.1.6

将 $10$ 乘以 $- 8$ 。

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

解题步骤 3.5.1.7

将 $10$ 乘以 $- 4$ 。

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} - 4 (- 8 t)$

解题步骤 3.5.1.8

将 $- 8$ 乘以 $- 4$ 。

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} + 32 t$

解题步骤 3.5.2

从 $- 80 t^{2}$ 中减去 $40 t^{2}$ 。

$100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$

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