微积分学示例

$y = arcsec (\frac{1}{9 t^{4}})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = arcsec (t)$ 且 $g (t) = \frac{1}{9 t^{4}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{9 t^{4}}$ 。

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

解题步骤 1.2

$arcsec (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ 。

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{1}{9 t^{4}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{9 t^{4}} \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

解题步骤 2

组合 $\frac{1}{9 t^{4}}$ 和 $\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}{9 t^{4}}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

解题步骤 3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}{9 t^{4}}$ 。

$1 \frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

解题步骤 4

将 $\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

解题步骤 5

因为 $\frac{1}{9}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{1}{9 t^{4}}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{9} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$ 。

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} (\frac{1}{9} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}])$

解题步骤 6

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ 。

$\frac{9 t^{4}}{9 \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

解题步骤 6.2

约去 $9$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$\frac{9 t^{4}}{9 \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

解题步骤 6.3

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

将 $\frac{1}{t^{4}}$ 重写为 ${(t^{4})}^{- 1}$ 。

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [{(t^{4})}^{- 1}]$

解题步骤 6.3.2

将 ${(t^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{4 \cdot - 1}]$

解题步骤 6.3.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{- 4}]$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} (- 4 t^{- 5})$

解题步骤 8

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ 。

$\frac{- 4 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} t^{- 5}$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{- 4 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ 和 $t^{- 5}$ 。

$\frac{- 4 t^{4} t^{- 5}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 9

通过指数相加将 $t^{4}$ 乘以 $t^{- 5}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

移动 $t^{- 5}$ 。

$\frac{- 4 (t^{- 5} t^{4})}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 9.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 4 t^{- 5 + 4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 9.3

将 $- 5$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- 4 t^{- 1}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

解题步骤 10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- 1}$ 移动到分母。

$\frac{- 4}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1} t}$

解题步骤 11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1} t}$

解题步骤 12

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

对 $\frac{1}{9 t^{4}}$ 运用乘积法则。

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1^{2}}{{(9 t^{4})}^{2}} - 1} t}$

解题步骤 12.2

对 $9 t^{4}$ 运用乘积法则。

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1^{2}}{9^{2} {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

解题步骤 12.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.3.1

一的任意次幂都为一。

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{9^{2} {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

解题步骤 12.3.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

解题步骤 12.3.3

将 ${(t^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 t^{4 \cdot 2}} - 1} t}$

解题步骤 12.3.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 t^{8}} - 1} t}$

微积分学 示例

微积分学示例