微积分学示例

$y = \frac{\cos (t^{4})}{\tan (4 t)}$

解题步骤 1

将 $\tan (4 t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{d}{d t} [\frac{\cos (t^{4})}{\frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)}}]$

解题步骤 2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)}$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{\cos (t^{4}) \cos (4 t)}{\sin (4 t)}]$

解题步骤 3

将 $\frac{\cos (t^{4}) \cos (4 t)}{\sin (4 t)}$ 转换成 $\cos (t^{4}) \cot (4 t)$ 。

$\frac{d}{d t} [\cos (t^{4}) \cot (4 t)]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = \cos (t^{4})$ 且 $g (t) = \cot (4 t)$ 。

$\cos (t^{4}) \frac{d}{d t} [\cot (4 t)] + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cot (t)$ 且 $g (t) = 4 t$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 t$ 。

$\cos (t^{4}) (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d t} [4 t]) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

解题步骤 5.2

$\cot (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \csc^{2} (u_{1})$ 。

$\cos (t^{4}) (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [4 t]) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

解题步骤 5.3

使用 $4 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (t^{4}) (- \csc^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\cos (t^{4}) (- \csc^{2} (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

解题步骤 6.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t) \cdot 1) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

解题步骤 6.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

解题步骤 7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = t^{4}$ 。

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解题步骤 7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $t^{4}$ 。

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [t^{4}])$

解题步骤 7.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [t^{4}])$

解题步骤 7.3

使用 $t^{4}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) (- \sin (t^{4}) \frac{d}{d t} [t^{4}])$

解题步骤 8

使用幂法则求微分。

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解题步骤 8.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) (- \sin (t^{4}) (4 t^{3}))$

解题步骤 8.2

化简表达式。

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解题步骤 8.2.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) (- 4 \sin (t^{4}) t^{3})$

解题步骤 8.2.2

重新排序项。

$- 4 \csc^{2} (4 t) \cos (t^{4}) - 4 t^{3} \cot (4 t) \sin (t^{4})$

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