微积分学示例

$y = \frac{t^{2} + 2}{{(2 t - 5)}^{9}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t^{2} + 2$ 且 $g (t) = {(2 t - 5)}^{9}$ 。

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 2] - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{({(2 t - 5)}^{9})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 ${({(2 t - 5)}^{9})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 2] - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{9 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 2] - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $t^{2} + 2$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]$ 。

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (2 t + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

解题步骤 2.4

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (2 t + 0) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

解题步骤 2.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $2 t$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (2 t) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 移到 ${(2 t - 5)}^{9}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{9}$ 且 $g (t) = 2 t - 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 t - 5$ 。

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) (9 u^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

解题步骤 3.3

使用 $2 t - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) (9 {(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

解题步骤 4

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

解题步骤 4.2

从 $2 {(2 t - 5)}^{9} t - 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])$ 中分解出因数 ${(2 t - 5)}^{8}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

从 $2 {(2 t - 5)}^{9} t$ 中分解出因数 ${(2 t - 5)}^{8}$ 。

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t) - 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

解题步骤 4.2.2

从 $- 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])$ 中分解出因数 ${(2 t - 5)}^{8}$ 。

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t) + {(2 t - 5)}^{8} (- 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{18}}$

解题步骤 4.2.3

从 ${(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t) + {(2 t - 5)}^{8} (- 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))$ 中分解出因数 ${(2 t - 5)}^{8}$ 。

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{18}}$

解题步骤 5

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

从 ${(2 t - 5)}^{18}$ 中分解出因数 ${(2 t - 5)}^{8}$ 。

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{8} {(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 5.2

约去公因数。

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{8} {(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 5.3

重写表达式。

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 6

根据加法法则， $2 t - 5$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ 。

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 7

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 10

因为 $- 5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 + 0)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 11

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{2 (2 t - 5) t - 18 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

运用分配律。

$\frac{(2 (2 t) + 2 \cdot - 5) t - 18 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.2

运用分配律。

$\frac{2 (2 t) t + 2 \cdot - 5 t - 18 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.3

运用分配律。

$\frac{2 (2 t) t + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.1.1

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.4.1.1.1

移动 $t$ 。

$\frac{2 (2 (t \cdot t)) + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.4.1.1.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{2 (2 t^{2}) + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.4.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 t^{2} + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.4.1.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{4 t^{2} - 10 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.4.1.4

将 $- 18$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 t^{2} - 10 t - 18 t^{2} - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.4.2

从 $4 t^{2}$ 中减去 $18 t^{2}$ 。

$\frac{- 14 t^{2} - 10 t - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.5

从 $- 14 t^{2} - 10 t - 36$ 中分解出因数 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.5.1

从 $- 14 t^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 7 t^{2}) - 10 t - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.5.2

从 $- 10 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 7 t^{2}) + 2 (- 5 t) - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.5.3

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 7 t^{2}) + 2 (- 5 t) + 2 (- 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.5.4

从 $2 (- 7 t^{2}) + 2 (- 5 t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 7 t^{2} - 5 t) + 2 (- 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.5.5

从 $2 (- 7 t^{2} - 5 t) + 2 (- 18)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 7 t^{2} - 5 t - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.6

从 $- 7 t^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (7 t^{2}) - 5 t - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.7

从 $- 5 t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (7 t^{2}) - (5 t) - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.8

从 $- (7 t^{2}) - (5 t)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (7 t^{2} + 5 t) - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.9

将 $- 18$ 重写为 $- 1 (18)$ 。

$\frac{2 (- (7 t^{2} + 5 t) - 1 (18))}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.10

从 $- (7 t^{2} + 5 t) - 1 (18)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (7 t^{2} + 5 t + 18))}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.11

将 $- (7 t^{2} + 5 t + 18)$ 重写为 $- 1 (7 t^{2} + 5 t + 18)$ 。

$\frac{2 (- 1 (7 t^{2} + 5 t + 18))}{{(2 t - 5)}^{10}}$

解题步骤 12.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 (7 t^{2} + 5 t + 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

微积分学 示例

微积分学示例