微积分学示例

$y = {(t^{2} - 4)}^{2}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = t^{2} - 4$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t^{2} - 4$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

解题步骤 1.3

使用 $t^{2} - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (t^{2} - 4) \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $t^{2} - 4$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ 。

$2 (t^{2} - 4) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (t^{2} - 4) (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])$

解题步骤 2.3

因为 $- 4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 (t^{2} - 4) (2 t + 0)$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 t$ 和 $0$ 相加。

$2 (t^{2} - 4) (2 t)$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 (t^{2} - 4) t$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$(4 t^{2} + 4 \cdot - 4) t$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$4 t^{2} t + 4 \cdot - 4 t$

解题步骤 3.3

合并项。

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解题步骤 3.3.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (t^{1} t^{2}) + 4 \cdot - 4 t$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 t^{1 + 2} + 4 \cdot - 4 t$

解题步骤 3.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$4 t^{3} + 4 \cdot - 4 t$

解题步骤 3.3.4

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$4 t^{3} - 16 t$

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