微积分学示例

$e^{4 x} + e^{- x}$

解题步骤 1

将 $e^{4 x} + e^{- x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $e^{4 x} + e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.1.1.2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.1.1.2.1.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.1.1.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.1.1.2.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.1.1.2.5

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.1.1.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.1.1.3.1.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.1.1.3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

解题步骤 2.1.1.3.5

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

解题步骤 2.1.1.3.6

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $4 e^{4 x} - e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 e^{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x$ 。

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

解题步骤 2.1.2.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

解题步骤 2.1.2.2.2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

解题步骤 2.1.2.2.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

解题步骤 2.1.2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

解题步骤 2.1.2.2.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

解题步骤 2.1.2.2.6

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

解题步骤 2.1.2.2.7

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

解题步骤 2.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.1.2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.1.2.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.1.2.3.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.1.2.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.1.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 2.1.2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

解题步骤 2.1.2.3.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

解题步骤 2.1.2.3.7

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$16 e^{4 x} - - e^{- x}$

解题步骤 2.1.2.3.8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

解题步骤 2.1.2.3.9

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $16 e^{4 x} + e^{- x}$ 。

$16 e^{4 x} + e^{- x}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$

解题步骤 2.2.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

无解

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

因为二阶导数是正数，所以图像向上凹。

图像向上凹

解题步骤 5

微积分学 示例

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