微积分学示例

$y = \ln (3 t e^{- t})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \ln (t)$ 且 $g (t) = 3 t e^{- t}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 t e^{- t}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

解题步骤 1.3

使用 $3 t e^{- t}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

解题步骤 2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t e^{- t}$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$ 。

$\frac{1}{3 t e^{- t}} (3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}])$

解题步骤 2.2

化简项。

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解题步骤 2.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3 t e^{- t}}$ 。

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

解题步骤 2.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

解题步骤 2.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = e^{- t}$ 。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - t$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- t$ 。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.3

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 5.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 5.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- t}$ 的左侧。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1 e^{- t}$ 重写为 $- e^{- t}$ 。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \cdot 1)$

解题步骤 5.5

将 $e^{- t}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t})) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

解题步骤 6.2

合并项。

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解题步骤 6.2.1

组合 $t$ 和 $\frac{1}{t e^{- t}}$ 。

$\frac{t}{t e^{- t}} (- e^{- t}) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

解题步骤 6.2.2

组合 $\frac{t}{t e^{- t}}$ 和 $e^{- t}$ 。

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

解题步骤 6.2.3

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

约去公因数。

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

解题步骤 6.2.3.2

重写表达式。

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

解题步骤 6.2.4

约去 $e^{- t}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.4.1

约去公因数。

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

解题步骤 6.2.4.2

重写表达式。

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

解题步骤 6.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

解题步骤 6.2.6

组合 $\frac{1}{t e^{- t}}$ 和 $e^{- t}$ 。

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

解题步骤 6.2.7

约去 $e^{- t}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.7.1

约去公因数。

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

解题步骤 6.2.7.2

重写表达式。

$- 1 + \frac{1}{t}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$\frac{1}{t} - 1$

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