微积分学示例

$y = \ln (| 2 + t - t^{3} |)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \ln (t)$ 且 $g (t) = | 2 + t - t^{3} |$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $| 2 + t - t^{3} |$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [| 2 + t - t^{3} |]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [| 2 + t - t^{3} |]$

解题步骤 1.3

使用 $| 2 + t - t^{3} |$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [| 2 + t - t^{3} |]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = | t |$ 且 $g (t) = 2 + t - t^{3}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 + t - t^{3}$ 。

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}])$

解题步骤 2.2

$| u_{2} |$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 。

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}])$

解题步骤 2.3

使用 $2 + t - t^{3}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} (\frac{2 + t - t^{3}}{| 2 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}])$

解题步骤 3

将 $\frac{2 + t - t^{3}}{| 2 + t - t^{3} |}$ 乘以 $\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |}$ 。

$\frac{2 + t - t^{3}}{| 2 + t - t^{3} | | 2 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

解题步骤 4

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\frac{2 + t - t^{3}}{| (2 + t - t^{3}) (2 + t - t^{3}) |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

解题步骤 5

对 $2 + t - t^{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{1} (2 + t - t^{3}) |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

解题步骤 6

对 $2 + t - t^{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{1} {(2 + t - t^{3})}^{1} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{1 + 1} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

解题步骤 9

根据加法法则， $2 + t - t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]$ 。

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

解题步骤 10

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

解题步骤 11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [t]$ 相加。

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

解题步骤 13

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - \frac{d}{d t} [t^{3}])$

解题步骤 14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - (3 t^{2}))$

解题步骤 15

化简表达式。

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解题步骤 15.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$

解题步骤 15.2

重新排序 $\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$ 的因式。

$(1 - 3 t^{2}) \frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |}$

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