微积分学示例

$\frac{2 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以 $\frac{2 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$ 对 $u$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$ 。

$2 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ 等于 $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ ，其中 $f (u) = u^{2}$ 且 $g (u) = {(u^{2} + u)}^{3}$ 。

$2 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} (2 u) - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 3.3

将 $2$ 移到 ${(u^{2} + u)}^{3}$ 的左侧。

$2 \frac{2 \cdot {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ 等于 $f' (g (u)) g' (u)$ ，其中 $f (u) = u^{3}$ 且 $g (u) = u^{2} + u$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $u^{2} + u$ 。

$2 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 4.3

使用 $u^{2} + u$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 5.2

根据加法法则， $u^{2} + u$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]$ 。

$2 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 5.5

组合 $2$ 和 $\frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$ 。

$\frac{2 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{2 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.1

使用二项式定理。

$\frac{2 (2 ({(u^{2})}^{3} + 3 {(u^{2})}^{2} u + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1

将 ${(u^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 (2 (u^{2 \cdot 3} + 3 {(u^{2})}^{2} u + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 {(u^{2})}^{2} u + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 ${(u^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 u^{2 \cdot 2} u + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 u^{4} u + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.3

通过指数相加将 $u^{4}$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 6.2.2.3.1

移动 $u$ 。

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 (u \cdot u^{4}) + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.3.2

将 $u$ 乘以 $u^{4}$ 。

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解题步骤 6.2.2.3.2.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 (u^{1} u^{4}) + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 u^{1 + 4} + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.3.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 u^{5} + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.4

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.2.4.1

移动 $u^{2}$ 。

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 u^{5} + 3 (u^{2} u^{2}) + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 u^{5} + 3 u^{2 + 2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.2.4.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 u^{5} + 3 u^{4} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.3

运用分配律。

$\frac{2 ((2 u^{6} + 2 (3 u^{5}) + 2 (3 u^{4}) + 2 u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.4

化简。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 ((2 u^{6} + 6 u^{5} + 2 (3 u^{4}) + 2 u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 ((2 u^{6} + 6 u^{5} + 6 u^{4} + 2 u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.5

运用分配律。

$\frac{2 (2 u^{6} u + 6 u^{5} u + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6

化简。

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解题步骤 6.2.6.1

通过指数相加将 $u^{6}$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 6.2.6.1.1

移动 $u$ 。

$\frac{2 (2 (u \cdot u^{6}) + 6 u^{5} u + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.1.2

将 $u$ 乘以 $u^{6}$ 。

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解题步骤 6.2.6.1.2.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (2 (u^{1} u^{6}) + 6 u^{5} u + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (2 u^{1 + 6} + 6 u^{5} u + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.1.3

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{5} u + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.2

通过指数相加将 $u^{5}$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 6.2.6.2.1

移动 $u$ 。

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 (u \cdot u^{5}) + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.2.2

将 $u$ 乘以 $u^{5}$ 。

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解题步骤 6.2.6.2.2.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 (u^{1} u^{5}) + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{1 + 5} + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.2.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.3

通过指数相加将 $u^{4}$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 6.2.6.3.1

移动 $u$ 。

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 (u \cdot u^{4}) + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.3.2

将 $u$ 乘以 $u^{4}$ 。

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解题步骤 6.2.6.3.2.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 (u^{1} u^{4}) + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{1 + 4} + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.3.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{5} + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.4

通过指数相加将 $u^{3}$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 6.2.6.4.1

移动 $u$ 。

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{5} + 2 (u \cdot u^{3})) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.4.2

将 $u$ 乘以 $u^{3}$ 。

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解题步骤 6.2.6.4.2.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{5} + 2 (u^{1} u^{3})) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{5} + 2 u^{1 + 3}) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.6.4.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{5} + 2 u^{4}) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.7

运用分配律。

$\frac{2 (2 u^{7}) + 2 (6 u^{6}) + 2 (6 u^{5}) + 2 (2 u^{4}) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.8

化简。

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解题步骤 6.2.8.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 u^{7} + 2 (6 u^{6}) + 2 (6 u^{5}) + 2 (2 u^{4}) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.8.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 2 (6 u^{5}) + 2 (2 u^{4}) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.8.3

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 2 (2 u^{4}) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.8.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.9

将 ${(u^{2} + u)}^{2}$ 重写为 $(u^{2} + u) (u^{2} + u)$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{2} + u) (u^{2} + u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.10

使用 FOIL 方法展开 $(u^{2} + u) (u^{2} + u)$ 。

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解题步骤 6.2.10.1

运用分配律。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{2} (u^{2} + u) + u (u^{2} + u)) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.10.2

运用分配律。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{2} u^{2} + u^{2} u + u (u^{2} + u)) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.10.3

运用分配律。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{2} u^{2} + u^{2} u + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.11.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.11.1.1

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.11.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{2 + 2} + u^{2} u + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{2} u + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11.1.2

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 6.2.11.1.2.1

将 $u^{2}$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 6.2.11.1.2.1.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{2} u^{1} + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11.1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{2 + 1} + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11.1.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{3} + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11.1.3

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.11.1.3.1

将 $u$ 乘以 $u^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.11.1.3.1.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{3} + u^{1} u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{3} + u^{1 + 2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11.1.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{3} + u^{3} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11.1.4

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{3} + u^{3} + u^{2}) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.11.2

将 $u^{3}$ 和 $u^{3}$ 相加。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + 2 u^{3} + u^{2}) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.12

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(u^{4} + 2 u^{3} + u^{2}) (2 u + 1)$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (u^{4} (2 u) + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13

化简每一项。

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解题步骤 6.2.13.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{4} u + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.2

通过指数相加将 $u^{4}$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 6.2.13.2.1

移动 $u$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 (u \cdot u^{4}) + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.2.2

将 $u$ 乘以 $u^{4}$ 。

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解题步骤 6.2.13.2.2.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 (u^{1} u^{4}) + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{1 + 4} + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.2.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.3

将 $u^{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 \cdot 2 u^{3} u + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.5

通过指数相加将 $u^{3}$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 6.2.13.5.1

移动 $u$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 \cdot 2 (u \cdot u^{3}) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.5.2

将 $u$ 乘以 $u^{3}$ 。

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解题步骤 6.2.13.5.2.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 \cdot 2 (u^{1} u^{3}) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 \cdot 2 u^{1 + 3} + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.5.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 \cdot 2 u^{4} + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.8

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 u^{2} u + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.9

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 6.2.13.9.1

移动 $u$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 (u \cdot u^{2}) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.9.2

将 $u$ 乘以 $u^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.13.9.2.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 (u^{1} u^{2}) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 u^{1 + 2} + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.9.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 u^{3} + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.13.10

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 u^{3} + u^{2}))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.14

将 $u^{4}$ 和 $4 u^{4}$ 相加。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + 5 u^{4} + 2 u^{3} + 2 u^{3} + u^{2}))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.15

将 $2 u^{3}$ 和 $2 u^{3}$ 相加。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + 5 u^{4} + 4 u^{3} + u^{2}))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.16

运用分配律。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5}) - 3 u^{2} (5 u^{4}) - 3 u^{2} (4 u^{3}) - 3 u^{2} u^{2})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.17

化简。

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解题步骤 6.2.17.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 u^{2} (5 u^{4}) - 3 u^{2} (4 u^{3}) - 3 u^{2} u^{2})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.17.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 u^{2} (4 u^{3}) - 3 u^{2} u^{2})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.17.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{2} u^{2})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.17.4

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.17.4.1

移动 $u^{2}$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 (u^{2} u^{2}))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.17.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{2 + 2})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.17.4.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.18

化简每一项。

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解题步骤 6.2.18.1

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u^{5}$ 。

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解题步骤 6.2.18.1.1

移动 $u^{5}$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 (u^{5} u^{2}) - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.18.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 u^{5 + 2} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.18.1.3

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 u^{7} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.18.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.18.3

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u^{4}$ 。

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解题步骤 6.2.18.3.1

移动 $u^{4}$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 3 \cdot 5 (u^{4} u^{2}) - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.18.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 3 \cdot 5 u^{4 + 2} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.18.3.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 3 \cdot 5 u^{6} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.18.4

将 $- 3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 15 u^{6} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.18.5

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u^{3}$ 。

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解题步骤 6.2.18.5.1

移动 $u^{3}$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 15 u^{6} - 3 \cdot 4 (u^{3} u^{2}) - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.18.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 15 u^{6} - 3 \cdot 4 u^{3 + 2} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.18.5.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 15 u^{6} - 3 \cdot 4 u^{5} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.18.6

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 15 u^{6} - 12 u^{5} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.19

运用分配律。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7}) + 2 (- 15 u^{6}) + 2 (- 12 u^{5}) + 2 (- 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.20

化简。

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解题步骤 6.2.20.1

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} - 12 u^{7} + 2 (- 15 u^{6}) + 2 (- 12 u^{5}) + 2 (- 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.20.2

将 $- 15$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} - 12 u^{7} - 30 u^{6} + 2 (- 12 u^{5}) + 2 (- 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.20.3

将 $- 12$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} - 12 u^{7} - 30 u^{6} - 24 u^{5} + 2 (- 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.20.4

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} - 12 u^{7} - 30 u^{6} - 24 u^{5} - 6 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.21

从 $4 u^{7}$ 中减去 $12 u^{7}$ 。

$\frac{- 8 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} - 30 u^{6} - 24 u^{5} - 6 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.22

从 $12 u^{6}$ 中减去 $30 u^{6}$ 。

$\frac{- 8 u^{7} - 18 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} - 24 u^{5} - 6 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.23

从 $12 u^{5}$ 中减去 $24 u^{5}$ 。

$\frac{- 8 u^{7} - 18 u^{6} - 12 u^{5} + 4 u^{4} - 6 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.24

从 $4 u^{4}$ 中减去 $6 u^{4}$ 。

$\frac{- 8 u^{7} - 18 u^{6} - 12 u^{5} - 2 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.25

以因式分解的形式重写 $- 8 u^{7} - 18 u^{6} - 12 u^{5} - 2 u^{4}$ 。

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解题步骤 6.2.25.1

从 $- 8 u^{7} - 18 u^{6} - 12 u^{5} - 2 u^{4}$ 中分解出因数 $2 u^{4}$ 。

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解题步骤 6.2.25.1.1

从 $- 8 u^{7}$ 中分解出因数 $2 u^{4}$ 。

$\frac{2 u^{4} (- 4 u^{3}) - 18 u^{6} - 12 u^{5} - 2 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.25.1.2

从 $- 18 u^{6}$ 中分解出因数 $2 u^{4}$ 。

$\frac{2 u^{4} (- 4 u^{3}) + 2 u^{4} (- 9 u^{2}) - 12 u^{5} - 2 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.25.1.3

从 $- 12 u^{5}$ 中分解出因数 $2 u^{4}$ 。

$\frac{2 u^{4} (- 4 u^{3}) + 2 u^{4} (- 9 u^{2}) + 2 u^{4} (- 6 u) - 2 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.25.1.4

从 $- 2 u^{4}$ 中分解出因数 $2 u^{4}$ 。

$\frac{2 u^{4} (- 4 u^{3}) + 2 u^{4} (- 9 u^{2}) + 2 u^{4} (- 6 u) + 2 u^{4} (- 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.25.1.5

从 $2 u^{4} (- 4 u^{3}) + 2 u^{4} (- 9 u^{2})$ 中分解出因数 $2 u^{4}$ 。

$\frac{2 u^{4} (- 4 u^{3} - 9 u^{2}) + 2 u^{4} (- 6 u) + 2 u^{4} (- 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.25.1.6

从 $2 u^{4} (- 4 u^{3} - 9 u^{2}) + 2 u^{4} (- 6 u)$ 中分解出因数 $2 u^{4}$ 。

$\frac{2 u^{4} (- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u) + 2 u^{4} (- 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.25.1.7

从 $2 u^{4} (- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u) + 2 u^{4} (- 1)$ 中分解出因数 $2 u^{4}$ 。

$\frac{2 u^{4} (- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.25.2

使用有理根检验法因式分解 $- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u - 1$ 。

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解题步骤 6.2.25.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 6.2.25.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5$

解题步骤 6.2.25.2.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 6.2.25.2.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

$- 4 {(- 1)}^{3} - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 1$

解题步骤 6.2.25.2.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 4 \cdot - 1 - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 1$

解题步骤 6.2.25.2.3.3

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 1$

解题步骤 6.2.25.2.3.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 - 9 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 - 1$

解题步骤 6.2.25.2.3.5

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$4 - 9 - 6 \cdot - 1 - 1$

解题步骤 6.2.25.2.3.6

从 $4$ 中减去 $9$ 。

$- 5 - 6 \cdot - 1 - 1$

解题步骤 6.2.25.2.3.7

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 + 6 - 1$

解题步骤 6.2.25.2.3.8

将 $- 5$ 和 $6$ 相加。

$1 - 1$

解题步骤 6.2.25.2.3.9

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0$

解题步骤 6.2.25.2.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $u + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u - 1}{u + 1}$

解题步骤 6.2.25.2.5

用 $- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u - 1$ 除以 $u + 1$ 。

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解题步骤 6.2.25.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$u$

$1$

$4 u^{3}$

$9 u^{2}$

$6 u$

$1$

解题步骤 6.2.25.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $- 4 u^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

				-	$4 u^{2}$
	$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$

解题步骤 6.2.25.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$4 u^{2}$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			-	$4 u^{3}$	-	$4 u^{2}$

解题步骤 6.2.25.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 u^{3} - 4 u^{2}$ 中的所有符号

			-	$4 u^{2}$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$

解题步骤 6.2.25.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$4 u^{2}$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$

解题步骤 6.2.25.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$4 u^{2}$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$

解题步骤 6.2.25.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 5 u^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$

解题步骤 6.2.25.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					-	$5 u^{2}$	-	$5 u$

解题步骤 6.2.25.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 5 u^{2} - 5 u$ 中的所有符号

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$

解题步骤 6.2.25.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$

解题步骤 6.2.25.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$	-	$1$

解题步骤 6.2.25.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $- u$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$	-	$1$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$	-	$1$

解题步骤 6.2.25.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$	-	$1$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$	-	$1$
							-	$u$	-	$1$

解题步骤 6.2.25.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- u - 1$ 中的所有符号

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$	-	$1$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$	-	$1$
							+	$u$	+	$1$

解题步骤 6.2.25.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$	-	$1$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$	-	$1$
							+	$u$	+	$1$
										$0$

解题步骤 6.2.25.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- 4 u^{2} - 5 u - 1$

解题步骤 6.2.25.2.6

将 $- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u - 1$ 书写为因数的集合。

$\frac{2 u^{4} ((u + 1) (- 4 u^{2} - 5 u - 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.25.3

分组因式分解。

$\frac{2 u^{4} (u + 1) (- 4 u - 1) (u + 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.25.4

合并指数。

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解题步骤 6.2.25.4.1

对 $u + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 u^{4} ({(u + 1)}^{1} (u + 1)) (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.25.4.2

对 $u + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 u^{4} ({(u + 1)}^{1} {(u + 1)}^{1}) (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.25.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 u^{4} {(u + 1)}^{1 + 1} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.2.25.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

解题步骤 6.3

化简分母。

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解题步骤 6.3.1

从 $u^{2} + u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

从 $u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{2 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u)}^{6}}$

解题步骤 6.3.1.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u^{1})}^{6}}$

解题步骤 6.3.1.3

从 $u^{1}$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{2 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{6}}$

解题步骤 6.3.1.4

从 $u \cdot u + u \cdot 1$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{2 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u (u + 1))}^{6}}$

解题步骤 6.3.2

对 $u (u + 1)$ 运用乘积法则。

$\frac{2 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

解题步骤 6.4

约去 $u^{4}$ 和 $u^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $2 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ 中分解出因数 $u^{4}$ 。

$\frac{u^{4} (2 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

解题步骤 6.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.4.2.1

从 $u^{6} {(u + 1)}^{6}$ 中分解出因数 $u^{4}$ 。

$\frac{u^{4} (2 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

解题步骤 6.4.2.2

约去公因数。

$\frac{u^{4} (2 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

解题步骤 6.4.2.3

重写表达式。

$\frac{2 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

解题步骤 6.5

约去 ${(u + 1)}^{2}$ 和 ${(u + 1)}^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1

从 $2 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ 中分解出因数 ${(u + 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(u + 1)}^{2} (2 (- 4 u - 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

解题步骤 6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.2.1

从 $u^{2} {(u + 1)}^{6}$ 中分解出因数 ${(u + 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(u + 1)}^{2} (2 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

解题步骤 6.5.2.2

约去公因数。

$\frac{{(u + 1)}^{2} (2 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

解题步骤 6.5.2.3

重写表达式。

$\frac{2 (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

解题步骤 6.6

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (4 u) - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

解题步骤 6.7

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{2 (- (4 u) - 1 (1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

解题步骤 6.8

从 $- (4 u) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

解题步骤 6.9

将 $- (4 u + 1)$ 重写为 $- 1 (4 u + 1)$ 。

$\frac{2 (- 1 (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

解题步骤 6.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 (4 u + 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

微积分学 示例

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