微积分学示例

$(a (1 - \frac{w}{N}) - c r) w$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\frac{d}{d w} [(a \cdot 1 + a (- \frac{w}{N}) - c r) w]$

解题步骤 1.2

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d w} [(a + a (- \frac{w}{N}) - c r) w]$

解题步骤 1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d w} [(a - a \frac{w}{N} - c r) w]$

解题步骤 1.4

组合 $\frac{w}{N}$ 和 $a$ 。

$\frac{d}{d w} [(a - \frac{w a}{N} - c r) w]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ 等于 $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ ，其中 $f (w) = a - \frac{w a}{N} - c r$ 且 $g (w) = w$ 。

$(a - \frac{w a}{N} - c r) \frac{d}{d w} [w] + w \frac{d}{d w} [a - \frac{w a}{N} - c r]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(a - \frac{w a}{N} - c r) \cdot 1 + w \frac{d}{d w} [a - \frac{w a}{N} - c r]$

解题步骤 3.2

将 $a - \frac{w a}{N} - c r$ 乘以 $1$ 。

$a - \frac{w a}{N} - c r + w \frac{d}{d w} [a - \frac{w a}{N} - c r]$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $a - \frac{w a}{N} - c r$ 对 $w$ 的导数是 $\frac{d}{d w} [a] + \frac{d}{d w} [- \frac{w a}{N}] + \frac{d}{d w} [- c r]$ 。

$a - \frac{w a}{N} - c r + w (\frac{d}{d w} [a] + \frac{d}{d w} [- \frac{w a}{N}] + \frac{d}{d w} [- c r])$

解题步骤 3.4

因为 $a$ 对于 $w$ 是常数，所以 $a$ 对 $w$ 的导数为 $0$ 。

$a - \frac{w a}{N} - c r + w (0 + \frac{d}{d w} [- \frac{w a}{N}] + \frac{d}{d w} [- c r])$

解题步骤 3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d w} [- \frac{w a}{N}]$ 相加。

$a - \frac{w a}{N} - c r + w (\frac{d}{d w} [- \frac{w a}{N}] + \frac{d}{d w} [- c r])$

解题步骤 3.6

因为 $- \frac{a}{N}$ 对于 $w$ 是常数，所以 $- \frac{w a}{N}$ 对 $w$ 的导数是 $- \frac{a}{N} \frac{d}{d w} [w]$ 。

$a - \frac{w a}{N} - c r + w (- \frac{a}{N} \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- c r])$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$a - \frac{w a}{N} - c r + w (- \frac{a}{N} \cdot 1 + \frac{d}{d w} [- c r])$

解题步骤 3.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a - \frac{w a}{N} - c r + w (- \frac{a}{N} + \frac{d}{d w} [- c r])$

解题步骤 3.9

因为 $- c r$ 对于 $w$ 是常数，所以 $- c r$ 对 $w$ 的导数为 $0$ 。

$a - \frac{w a}{N} - c r + w (- \frac{a}{N} + 0)$

解题步骤 3.10

化简项。

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解题步骤 3.10.1

将 $- \frac{a}{N}$ 和 $0$ 相加。

$a - \frac{w a}{N} - c r + w (- \frac{a}{N})$

解题步骤 3.10.2

组合 $w$ 和 $\frac{a}{N}$ 。

$a - \frac{w a}{N} - c r - \frac{w a}{N}$

解题步骤 3.10.3

从 $- \frac{w a}{N}$ 中减去 $\frac{w a}{N}$ 。

$a - c r - 2 \frac{w a}{N}$

解题步骤 3.10.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{w a}{N}$ 。

$a - c r + \frac{- 2 (w a)}{N}$

解题步骤 3.10.5

将负号移到分数的前面。

$a - c r - \frac{2 w a}{N}$

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