微积分学示例

$33 (10 \sqrt{v} - v + 10.45)$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{v}$ 重写成 $v^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d v} [33 (10 v^{\frac{1}{2}} - v + 10.45)]$

解题步骤 2

因为 $33$ 对于 $v$ 是常数，所以 $33 (10 v^{\frac{1}{2}} - v + 10.45)$ 对 $v$ 的导数是 $33 \frac{d}{d v} [10 v^{\frac{1}{2}} - v + 10.45]$ 。

$33 \frac{d}{d v} [10 v^{\frac{1}{2}} - v + 10.45]$

解题步骤 3

根据加法法则， $10 v^{\frac{1}{2}} - v + 10.45$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [10 v^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [- v] + \frac{d}{d v} [10.45]$ 。

$33 (\frac{d}{d v} [10 v^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [- v] + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 4

因为 $10$ 对于 $v$ 是常数，所以 $10 v^{\frac{1}{2}}$ 对 $v$ 的导数是 $10 \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$ 。

$33 (10 \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [- v] + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$33 (10 (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d v} [- v] + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$33 (10 (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d v} [- v] + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$33 (10 (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d v} [- v] + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$33 (10 (\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d v} [- v] + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$33 (10 (\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d v} [- v] + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$33 (10 (\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d v} [- v] + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 10

将负号移到分数的前面。

$33 (10 (\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d v} [- v] + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $v^{- \frac{1}{2}}$ 。

$33 (10 \frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [- v] + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 12

组合 $10$ 和 $\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$33 (\frac{10 v^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [- v] + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $v^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$33 (\frac{10}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [- v] + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 14

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$33 (\frac{2 \cdot 5}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [- v] + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 15

约去公因数。

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解题步骤 15.1

从 $2 v^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$33 (\frac{2 \cdot 5}{2 (v^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d v} [- v] + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 15.2

约去公因数。

$33 (\frac{2 \cdot 5}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [- v] + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 15.3

重写表达式。

$33 (\frac{5}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [- v] + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 16

因为 $- 1$ 对于 $v$ 是常数，所以 $- v$ 对 $v$ 的导数是 $- \frac{d}{d v} [v]$ 。

$33 (\frac{5}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$33 (\frac{5}{v^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 18

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$33 (\frac{5}{v^{\frac{1}{2}}} - 1 + \frac{d}{d v} [10.45])$

解题步骤 19

因为 $10.45$ 对于 $v$ 是常数，所以 $10.45$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$33 (\frac{5}{v^{\frac{1}{2}}} - 1 + 0)$

解题步骤 20

将 $\frac{5}{v^{\frac{1}{2}}} - 1$ 和 $0$ 相加。

$33 (\frac{5}{v^{\frac{1}{2}}} - 1)$

解题步骤 21

化简。

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解题步骤 21.1

运用分配律。

$33 \frac{5}{v^{\frac{1}{2}}} + 33 \cdot - 1$

解题步骤 21.2

合并项。

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解题步骤 21.2.1

组合 $33$ 和 $\frac{5}{v^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{33 \cdot 5}{v^{\frac{1}{2}}} + 33 \cdot - 1$

解题步骤 21.2.2

将 $33$ 乘以 $5$ 。

$\frac{165}{v^{\frac{1}{2}}} + 33 \cdot - 1$

解题步骤 21.2.3

将 $33$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{165}{v^{\frac{1}{2}}} - 33$

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