微积分学示例

$v^{2} \sqrt{2 v - 5}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 v - 5}$ 重写成 ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d v} [v^{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ 等于 $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ ，其中 $f (v) = v^{2}$ 且 $g (v) = {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$v^{2} \frac{d}{d v} [{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ 等于 $f' (g (v)) g' (v)$ ，其中 $f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (v) = 2 v - 5$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 v - 5$ 。

$v^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$v^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 3.3

使用 $2 v - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(2 v - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$v^{2} (\frac{{(2 v - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 v - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$v^{2} (\frac{1}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $v^{2}$ 。

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [2 v - 5] + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 9

根据加法法则， $2 v - 5$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 5]$ 。

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 10

因为 $2$ 对于 $v$ 是常数，所以 $2 v$ 对 $v$ 的导数是 $2 \frac{d}{d v} [v]$ 。

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 12

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 13

因为 $- 5$ 对于 $v$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 14

化简项。

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解题步骤 14.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 14.2

组合 $\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $2$ 。

$\frac{v^{2} \cdot 2}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 14.3

将 $2$ 移到 $v^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 14.4

约去公因数。

$\frac{2 v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 14.5

重写表达式。

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 v)$

解题步骤 16

将 $2$ 移到 ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} v$

解题步骤 17

用公分母合并 $\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} v$ 。

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解题步骤 17.1

移动 ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 17.2

要将 $2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.3

在公分母上合并分子。

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18

通过指数相加将 ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 18.1

移动 ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{v^{2} + 2 v ({(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.3

在公分母上合并分子。

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{1}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19

化简 $2 v {(2 v - 5)}^{1}$ 。

$\frac{v^{2} + 2 v (2 v - 5)}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

运用分配律。

$\frac{v^{2} + 2 v (2 v) + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.2

化简分子。

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解题步骤 20.2.1

化简每一项。

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解题步骤 20.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{v^{2} + 2 \cdot 2 v \cdot v + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.2.1.2

通过指数相加将 $v$ 乘以 $v$ 。

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解题步骤 20.2.1.2.1

移动 $v$ 。

$\frac{v^{2} + 2 \cdot 2 (v \cdot v) + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.2.1.2.2

将 $v$ 乘以 $v$ 。

$\frac{v^{2} + 2 \cdot 2 v^{2} + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.2.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{v^{2} + 4 v^{2} + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.2.1.4

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{v^{2} + 4 v^{2} - 10 v}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.2.2

将 $v^{2}$ 和 $4 v^{2}$ 相加。

$\frac{5 v^{2} - 10 v}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.3

从 $5 v^{2} - 10 v$ 中分解出因数 $5 v$ 。

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解题步骤 20.3.1

从 $5 v^{2}$ 中分解出因数 $5 v$ 。

$\frac{5 v (v) - 10 v}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.3.2

从 $- 10 v$ 中分解出因数 $5 v$ 。

$\frac{5 v (v) + 5 v (- 2)}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.3.3

从 $5 v (v) + 5 v (- 2)$ 中分解出因数 $5 v$ 。

$\frac{5 v (v - 2)}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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