微积分学示例

$(3 x^{3} - x + 1) (4 - x^{2})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3 x^{3} - x + 1$ 且 $g (x) = 4 - x^{2}$ 。

$(3 x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}] + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$(3 x^{3} - x + 1) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

解题步骤 2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(3 x^{3} - x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$(3 x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(3 x^{3} - x + 1) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(3 x^{3} - x + 1) (- (2 x)) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

解题步骤 2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{3} - x + 1]$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $3 x^{3} - x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.10

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.13

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.14

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1 + 0)$

解题步骤 2.15

将 $9 x^{2} - 1$ 和 $0$ 相加。

$(3 x^{3} - x + 1) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$3 x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2} - 1)$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$3 x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + (4 - x^{2}) (9 x^{2}) + (4 - x^{2}) \cdot - 1$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$3 x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + (4 - x^{2}) \cdot - 1$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$3 x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.5

合并项。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$- 6 x^{3} x - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 6 (x^{1} x^{3}) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 x^{1 + 3} - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.5.4

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$- 6 x^{4} - x (- 2 x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.5.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 x^{4} + 2 x \cdot x + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.5.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 6 x^{4} + 2 (x^{1} x) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.5.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 6 x^{4} + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.5.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 x^{4} + 2 x^{1 + 1} + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.5.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (- 2 x) + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.5.10

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 4 (9 x^{2}) - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.5.11

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - x^{2} (9 x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.5.12

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{2} x^{2} + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.5.13

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.13.1

移动 $x^{2}$ 。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2}) + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.5.13.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{2 + 2} + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.5.13.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{4} + 4 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.5.14

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{4} - 4 - x^{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.5.15

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{4} - 4 + 1 x^{2}$

解题步骤 3.5.16

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 36 x^{2} - 9 x^{4} - 4 + x^{2}$

解题步骤 3.5.17

将 $36 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$- 6 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x + 37 x^{2} - 9 x^{4} - 4$

解题步骤 3.5.18

将 $2 x^{2}$ 和 $37 x^{2}$ 相加。

$- 6 x^{4} + 39 x^{2} - 2 x - 9 x^{4} - 4$

解题步骤 3.5.19

从 $- 6 x^{4}$ 中减去 $9 x^{4}$ 。

$- 15 x^{4} + 39 x^{2} - 2 x - 4$

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