微积分学示例

$y = {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{8}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 等于 $f' (g (w)) g' (w)$ ，其中 $f (w) = w^{8}$ 且 $g (w) = \frac{1}{w^{3} - 1}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{1}{w^{3} - 1}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{8}] \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$8 {u_{1}}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{1}{w^{3} - 1}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{w^{3} - 1}$ 重写为 ${(w^{3} - 1)}^{- 1}$ 。

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [{(w^{3} - 1)}^{- 1}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 等于 $f' (g (w)) g' (w)$ ，其中 $f (w) = w^{- 1}$ 且 $g (w) = w^{3} - 1$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $w^{3} - 1$ 。

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

解题步骤 3.3

使用 $w^{3} - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $w^{3} - 1$ 对 $w$ 的导数是 $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]$ 。

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]))$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [- 1]))$

解题步骤 4.4

因为 $- 1$ 对于 $w$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $w$ 的导数为 $0$ 。

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + 0))$

解题步骤 4.5

化简表达式。

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解题步骤 4.5.1

将 $3 w^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2}))$

解题步骤 4.5.2

将 $3$ 移到 ${(w^{3} - 1)}^{- 2}$ 的左侧。

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (3 \cdot {(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

解题步骤 4.5.3

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

解题步骤 5.2

对 $\frac{1}{w^{3} - 1}$ 运用乘积法则。

$- 24 \frac{1^{7}}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

解题步骤 5.3

合并项。

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解题步骤 5.3.1

一的任意次幂都为一。

$- 24 \frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

解题步骤 5.3.2

组合 $- 24$ 和 $\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ 。

$\frac{- 24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

解题步骤 5.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

解题步骤 5.3.4

组合 $\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ 和 $w^{2}$ 。

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} \cdot \frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3.5

将 $\frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ 乘以 $\frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ 。

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2} {(w^{3} - 1)}^{7}}$

解题步骤 5.3.6

通过指数相加将 ${(w^{3} - 1)}^{2}$ 乘以 ${(w^{3} - 1)}^{7}$ 。

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解题步骤 5.3.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2 + 7}}$

解题步骤 5.3.6.2

将 $2$ 和 $7$ 相加。

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

解题步骤 5.3.7

将 $24$ 移到 $w^{2}$ 的左侧。

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

解题步骤 5.4

化简分母。

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解题步骤 5.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1^{3})}^{9}}$

解题步骤 5.4.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = w$ 和 $b = 1$ 。

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w \cdot 1 + 1^{2}))}^{9}}$

解题步骤 5.4.3

化简。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $w$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1^{2}))}^{9}}$

解题步骤 5.4.3.2

一的任意次幂都为一。

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1))}^{9}}$

解题步骤 5.4.4

对 $(w - 1) (w^{2} + w + 1)$ 运用乘积法则。

$- \frac{24 w^{2}}{{(w - 1)}^{9} {(w^{2} + w + 1)}^{9}}$

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