微积分学示例

$h (w) = {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 等于 $f' (g (w)) g' (w)$ ，其中 $f (w) = w^{\frac{5}{2}}$ 且 $g (w) = w^{2} + 2 w + 4$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $w^{2} + 2 w + 4$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

解题步骤 1.3

使用 $w^{2} + 2 w + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

解题步骤 2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

解题步骤 3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

解题步骤 5.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

解题步骤 6

组合 $\frac{5}{2}$ 和 ${(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

解题步骤 7

根据加法法则， $w^{2} + 2 w + 4$ 对 $w$ 的导数是 $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [4]$ 。

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [4])$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + \frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [4])$

解题步骤 9

因为 $2$ 对于 $w$ 是常数，所以 $2 w$ 对 $w$ 的导数是 $2 \frac{d}{d w} [w]$ 。

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [4])$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [4])$

解题步骤 11

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 + \frac{d}{d w} [4])$

解题步骤 12

因为 $4$ 对于 $w$ 是常数，所以 $4$ 对 $w$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 + 0)$

解题步骤 13

化简表达式。

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解题步骤 13.1

将 $2 w + 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2)$

解题步骤 13.2

重新排序 $\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2)$ 的因式。

$(2 w + 2) \frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2}$

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