微积分学示例

$g (t) = \sin^{2} (3 t) + \arcsin (3 t)$

解题步骤 1

根据加法法则， $\sin^{2} (3 t) + \arcsin (3 t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\sin^{2} (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$ 。

$\frac{d}{d t} [\sin^{2} (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [\sin^{2} (3 t)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = \sin (3 t)$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (3 t)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

解题步骤 2.1.3

使用 $\sin (3 t)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \sin (3 t) \frac{d}{d t} [\sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = 3 t$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 t$ 。

$2 \sin (3 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

解题步骤 2.2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$2 \sin (3 t) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

解题步骤 2.2.3

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \sin (3 t) (\cos (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

解题步骤 2.3

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \sin (3 t) (\cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \sin (3 t) (\cos (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

解题步骤 2.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 \sin (3 t) (\cos (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

解题步骤 2.6

将 $3$ 移到 $\cos (3 t)$ 的左侧。

$2 \sin (3 t) (3 \cdot \cos (3 t)) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

解题步骤 2.7

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \arcsin (t)$ 且 $g (t) = 3 t$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $3 t$ 。

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{d}{d u_{3}} [\arcsin (u_{3})] \frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 3.1.2

$\arcsin (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{3}}^{2}}}$ 。

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{3}}^{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 3.1.3

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 t)}^{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 t)}^{2}}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 t)}^{2}}} (3 \cdot 1)$

解题步骤 3.4

从 $3 t$ 中分解出因数 $3$ 。

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 (t))}^{2}}} (3 \cdot 1)$

解题步骤 3.5

对 $3 (t)$ 运用乘积法则。

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - (3^{2} t^{2})}} (3 \cdot 1)$

解题步骤 3.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - (9 t^{2})}} (3 \cdot 1)$

解题步骤 3.7

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}} (3 \cdot 1)$

解题步骤 3.8

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}} \cdot 3$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{1}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}}$ 和 $3$ 。

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{3}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}}$

解题步骤 4

重新排序项。

$6 \cos (3 t) \sin (3 t) + \frac{3}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}}$

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