微积分学示例

$h (t) = t^{\frac{3}{4}} - 6 t^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $t^{\frac{3}{4}} - 6 t^{\frac{1}{4}}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{4}$ 。

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{4} t^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3}{4} t^{\frac{3 - 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 2.5.2

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$\frac{3}{4} t^{\frac{- 1}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 6 t^{\frac{1}{4}}$ 对 $t$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$ 。

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{4}$ 。

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 4}{4}})$

解题步骤 3.6.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{- 3}{4}})$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}})$

解题步骤 3.8

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $t^{- \frac{3}{4}}$ 。

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 \frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

解题步骤 3.9

组合 $- 6$ 和 $\frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$ 。

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 6 t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

解题步骤 3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{3}{4}}$ 移动到分母。

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 6}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 3.11

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 (- 3)}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 3.12

约去公因数。

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解题步骤 3.12.1

从 $4 t^{\frac{3}{4}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 (- 3)}{2 (2 t^{\frac{3}{4}})}$

解题步骤 3.12.2

约去公因数。

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (2 t^{\frac{3}{4}})}$

解题步骤 3.12.3

重写表达式。

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 3.13

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}$ 。

$\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

微积分学 示例

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