微积分学示例

$\ln (t + 1) - 0.5 t$

解题步骤 1

根据加法法则， $\ln (t + 1) - 0.5 t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$ 。

$\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \ln (t)$ 且 $g (t) = t + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

解题步骤 2.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

解题步骤 2.1.3

使用 $t + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $t + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{t + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

解题步骤 2.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{t + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

解题步骤 2.6

将 $\frac{1}{t + 1}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{t + 1} + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d t} [- 0.5 t]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

因为 $- 0.5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 0.5 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 0.5 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $- 0.5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{t + 1} - 0.5$

解题步骤 4

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

要将 $- 0.5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{t + 1}{t + 1}$ 。

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \cdot \frac{t + 1}{t + 1}$

解题步骤 4.2

组合 $- 0.5$ 和 $\frac{t + 1}{t + 1}$ 。

$\frac{1}{t + 1} + \frac{- 0.5 (t + 1)}{t + 1}$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - 0.5 (t + 1)}{t + 1}$

微积分学 示例

微积分学示例