微积分学示例

$f (t) = \frac{e^{5 t} + e^{- 5 t}}{e^{3 t}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = e^{5 t} + e^{- 5 t}$ 且 $g (t) = e^{3 t}$ 。

$\frac{e^{3 t} \frac{d}{d t} [e^{5 t} + e^{- 5 t}] - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{{(e^{3 t})}^{2}}$

解题步骤 2

使用求加法法则求导。

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解题步骤 2.1

将 ${(e^{3 t})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{3 t} \frac{d}{d t} [e^{5 t} + e^{- 5 t}] - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{3 t \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{e^{3 t} \frac{d}{d t} [e^{5 t} + e^{- 5 t}] - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $e^{5 t} + e^{- 5 t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [e^{5 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]$ 。

$\frac{e^{3 t} (\frac{d}{d t} [e^{5 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = 5 t$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 t$ 。

$\frac{e^{3 t} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{3 t} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

解题步骤 3.3

使用 $5 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 t$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} \cdot 5 + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

解题步骤 4.3.2

将 $5$ 移到 $e^{5 t}$ 的左侧。

$\frac{e^{3 t} (5 \cdot e^{5 t} + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - 5 t$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- 5 t$ 。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 5 t]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

解题步骤 5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 5 t]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

解题步骤 5.3

使用 $- 5 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} \frac{d}{d t} [- 5 t]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $- 5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 5 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} (- 5 \frac{d}{d t} [t])) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} (- 5 \cdot 1)) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

解题步骤 6.3

化简表达式。

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解题步骤 6.3.1

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} \cdot - 5) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

解题步骤 6.3.2

将 $- 5$ 移到 $e^{- 5 t}$ 的左侧。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 \cdot e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

解题步骤 7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = 3 t$ 。

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解题步骤 7.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $3 t$ 。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [3 t])}{e^{6 t}}$

解题步骤 7.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [3 t])}{e^{6 t}}$

解题步骤 7.3

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t])}{e^{6 t}}$

解题步骤 8

求微分。

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解题步骤 8.1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t]))}{e^{6 t}}$

解题步骤 8.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} (\frac{d}{d t} [t]))}{e^{6 t}}$

解题步骤 8.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} \cdot 1)}{e^{6 t}}$

解题步骤 8.4

将 $e^{3 t}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) e^{3 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) e^{3 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) + (- 3 e^{5 t} - 3 e^{- 5 t}) e^{3 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.3

运用分配律。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.4

化简分子。

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解题步骤 9.4.1

化简每一项。

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解题步骤 9.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{5 e^{3 t} e^{5 t} + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.4.1.2

通过指数相加将 $e^{3 t}$ 乘以 $e^{5 t}$ 。

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解题步骤 9.4.1.2.1

移动 $e^{5 t}$ 。

$\frac{5 (e^{5 t} e^{3 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 e^{5 t + 3 t} + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.4.1.2.3

将 $5 t$ 和 $3 t$ 相加。

$\frac{5 e^{8 t} + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.4.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{3 t} e^{- 5 t} - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.4.1.4

通过指数相加将 $e^{3 t}$ 乘以 $e^{- 5 t}$ 。

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解题步骤 9.4.1.4.1

移动 $e^{- 5 t}$ 。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 (e^{- 5 t} e^{3 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.4.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 5 t + 3 t} - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.4.1.4.3

将 $- 5 t$ 和 $3 t$ 相加。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.4.1.5

通过指数相加将 $e^{5 t}$ 乘以 $e^{3 t}$ 。

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解题步骤 9.4.1.5.1

移动 $e^{3 t}$ 。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 (e^{3 t} e^{5 t}) - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.4.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{3 t + 5 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.4.1.5.3

将 $3 t$ 和 $5 t$ 相加。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.4.1.6

通过指数相加将 $e^{- 5 t}$ 乘以 $e^{3 t}$ 。

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解题步骤 9.4.1.6.1

移动 $e^{3 t}$ 。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 (e^{3 t} e^{- 5 t})}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.4.1.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 e^{3 t - 5 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.4.1.6.3

从 $3 t$ 中减去 $5 t$ 。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.4.2

从 $5 e^{8 t}$ 中减去 $3 e^{8 t}$ 。

$\frac{2 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.4.3

从 $- 5 e^{- 2 t}$ 中减去 $3 e^{- 2 t}$ 。

$\frac{2 e^{8 t} - 8 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.5

化简分子。

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解题步骤 9.5.1

从 $2 e^{8 t} - 8 e^{- 2 t}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 9.5.1.1

从 $2 e^{8 t}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (e^{8 t}) - 8 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.5.1.2

从 $- 8 e^{- 2 t}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{- 2 t})}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.5.1.3

从 $2 (e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{- 2 t})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (e^{8 t} - 4 e^{- 2 t})}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.5.2

将 $e^{8 t}$ 重写为 ${(e^{4 t})}^{2}$ 。

$\frac{2 ({(e^{4 t})}^{2} - 4 e^{- 2 t})}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.5.3

将 $4 e^{- 2 t}$ 重写为 ${(2 e^{- t})}^{2}$ 。

$\frac{2 ({(e^{4 t})}^{2} - {(2 e^{- t})}^{2})}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.5.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e^{4 t}$ 和 $b = 2 e^{- t}$ 。

$\frac{2 ((e^{4 t} + 2 e^{- t}) (e^{4 t} - (2 e^{- t})))}{e^{6 t}}$

解题步骤 9.5.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (e^{4 t} + 2 e^{- t}) (e^{4 t} - 2 e^{- t})}{e^{6 t}}$

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