微积分学示例

$\arccos (e^{- t})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \arccos (t)$ 且 $g (t) = e^{- t}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $e^{- t}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

解题步骤 1.2

$\arccos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

解题步骤 1.3

使用 $e^{- t}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{- t})}^{2}}} \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

解题步骤 2

将 ${(e^{- t})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- t \cdot 2}}} \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - t$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- t$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t])$

解题步骤 3.3

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

组合 $e^{- t}$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}}$ 。

$- \frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 4.2

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- \frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} (- \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.3

乘。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \cdot 1$

解题步骤 4.5

将 $\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}}$

微积分学 示例

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