微积分学示例

$- \cot (t - e^{- t})$

解题步骤 1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \cot (t - e^{- t})$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [\cot (t - e^{- t})]$ 。

$- \frac{d}{d t} [\cot (t - e^{- t})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cot (t)$ 且 $g (t) = t - e^{- t}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $t - e^{- t}$ 。

$- (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

解题步骤 2.2

$\cot (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \csc^{2} (u_{1})$ 。

$- (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

解题步骤 2.3

使用 $t - e^{- t}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- (- \csc^{2} (t - e^{- t}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\csc^{2} (t - e^{- t}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

解题步骤 3.2

将 $\csc^{2} (t - e^{- t})$ 乘以 $1$ 。

$\csc^{2} (t - e^{- t}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}]$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $t - e^{- t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]$ 。

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + \frac{d}{d t} [- e^{- t}])$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- e^{- t}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ 。

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - \frac{d}{d t} [e^{- t}])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - t$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- t$ 。

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]))$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]))$

解题步骤 4.3

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]))$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 5.2

乘。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + 1 e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 5.2.2

将 $e^{- t}$ 乘以 $1$ 。

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + e^{- t} \cdot 1)$

解题步骤 5.4

将 $e^{- t}$ 乘以 $1$ 。

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + e^{- t})$

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