微积分学示例

$- 18 \csc (2 t) \cot (2 t)$

解题步骤 1

因为 $- 18$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 18 \csc (2 t) \cot (2 t)$ 对 $t$ 的导数是 $- 18 \frac{d}{d t} [\csc (2 t) \cot (2 t)]$ 。

$- 18 \frac{d}{d t} [\csc (2 t) \cot (2 t)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = \csc (2 t)$ 且 $g (t) = \cot (2 t)$ 。

$- 18 (\csc (2 t) \frac{d}{d t} [\cot (2 t)] + \cot (2 t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cot (t)$ 且 $g (t) = 2 t$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 t$ 。

$- 18 (\csc (2 t) (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t]) + \cot (2 t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)])$

解题步骤 3.2

$\cot (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \csc^{2} (u_{1})$ 。

$- 18 (\csc (2 t) (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t]) + \cot (2 t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)])$

解题步骤 3.3

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 18 (\csc (2 t) (- \csc^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \cot (2 t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)])$

解题步骤 4

对 $\csc (2 t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 18 (- (\csc^{1} (2 t) \csc^{2} (2 t)) \frac{d}{d t} [2 t] + \cot (2 t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)])$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 18 (- {\csc (2 t)}^{1 + 2} \frac{d}{d t} [2 t] + \cot (2 t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)])$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 18 (- \csc^{3} (2 t) \frac{d}{d t} [2 t] + \cot (2 t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)])$

解题步骤 6.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 18 (- \csc^{3} (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]) + \cot (2 t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)])$

解题步骤 6.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 18 (- 2 \csc^{3} (2 t) \frac{d}{d t} [t] + \cot (2 t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)])$

解题步骤 6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 18 (- 2 \csc^{3} (2 t) \cdot 1 + \cot (2 t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)])$

解题步骤 6.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 18 (- 2 \csc^{3} (2 t) + \cot (2 t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)])$

解题步骤 7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \csc (t)$ 且 $g (t) = 2 t$ 。

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解题步骤 7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 t$ 。

$- 18 (- 2 \csc^{3} (2 t) + \cot (2 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t]))$

解题步骤 7.2

$\csc (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 。

$- 18 (- 2 \csc^{3} (2 t) + \cot (2 t) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t]))$

解题步骤 7.3

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 18 (- 2 \csc^{3} (2 t) + \cot (2 t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]))$

解题步骤 8

对 $\cot (2 t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 18 (- 2 \csc^{3} (2 t) - \csc (2 t) (\cot^{1} (2 t) \cot (2 t)) \frac{d}{d t} [2 t])$

解题步骤 9

对 $\cot (2 t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 18 (- 2 \csc^{3} (2 t) - \csc (2 t) (\cot^{1} (2 t) \cot^{1} (2 t)) \frac{d}{d t} [2 t])$

解题步骤 10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 18 (- 2 \csc^{3} (2 t) - \csc (2 t) {\cot (2 t)}^{1 + 1} \frac{d}{d t} [2 t])$

解题步骤 11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 18 (- 2 \csc^{3} (2 t) - \csc (2 t) \cot^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])$

解题步骤 12

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 18 (- 2 \csc^{3} (2 t) - \csc (2 t) \cot^{2} (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 13

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 18 (- 2 \csc^{3} (2 t) - 2 \csc (2 t) \cot^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 18 (- 2 \csc^{3} (2 t) - 2 \csc (2 t) \cot^{2} (2 t) \cdot 1)$

解题步骤 15

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 18 (- 2 \csc^{3} (2 t) - 2 \csc (2 t) \cot^{2} (2 t))$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

运用分配律。

$- 18 (- 2 \csc^{3} (2 t)) - 18 (- 2 \csc (2 t) \cot^{2} (2 t))$

解题步骤 16.2

合并项。

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解题步骤 16.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 18$ 。

$36 \csc^{3} (2 t) - 18 (- 2 \csc (2 t) \cot^{2} (2 t))$

解题步骤 16.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 18$ 。

$36 \csc^{3} (2 t) + 36 \csc (2 t) \cot^{2} (2 t)$

解题步骤 16.3

重新排序项。

$36 \cot^{2} (2 t) \csc (2 t) + 36 \csc^{3} (2 t)$

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